Il giardino di Archimede  Un museo per la matematica

Misurazioni a distanza nella Pratica della geometria di Cristofano di Gherardo di Dino

dalla Pratica della geometria di Cristofano di Gherardo di Dino

QUI INCOMINCIA LA PRATICA DELLA GEOMETRIA
DI M.o LUNARDO PISANO

Qualunqua persona volesse studiare l'arte della geometria, cioè di misurare terrenj o altre cose simile, gli è di necesità sapere che l'arte tracta sopra 5 cose. La prima si è punto et la seconda si è linea, et la tersa si è anghulo, la quarta è superfice, la quinta è corpo e cetera. Or diciamo: punto si è cosa che sta e che non si può partire, linea si è lunghessa sansa anpiessa e li terminj della linea sono puntj e la linea diricta si è quella che si traggie dirictamente da uno punto ad un altro.

Angulo si è lo chinamento di 2 linee che fa l'una a l'antra, che si tocchano insieme e che non giaceno in diritto l'una a l'altra, sì come la linea del' a.b. e del b.c. che fanno uno angulo dal punto del b.. Et viene altretanto a ddire anghulo come cantone, et linea tanto viene a ddire come lensa. Anghulj sono di tre ragione, cioè: dirictj, vel maggiorj di dirictj, vel minorj di dirictj. Quando una linea ricta sta sopra una linea ricta et fa intorno da sè 2 anghuli eghualj in tra lloro avicendatamente, allora è diricto ciaschuno di quellj 2 anghulj, sì come tu

vedi la linea del' a.b, che sta ricta sopra la linea del c.d. ess'à intorno da sè 2 anghulj eghualj al punto del b., questo è che l'anghulo del' a.b.c. è eghuale a quello del' a.b.d.; et perciò ciaschuno di questj 2 anghulj è diricto e la linea del' a.b. si chiama cateto, vel perpendiculare sopra la linea del c.d.. Et, quando le 2 linee che fano l'anghulo sono piane, allora quello anghulo si chiama anghulo piano et, quando anburo le linee e' sono ricte, allora si chiama l'anghulo rectjlineo. Superfice si è cosa ched è lungha e anpia, e' terminj della superfice sono linee et quando le linee sono ricte allora la superfice è rectjlinea. Et sono superfice di molte ragione sigondo la diversità delle linee che terminano la superfice; et superfice piana è quand'ella giace in piano o che le linee ricte che sono menate sopra la superfice tocchano da lungha a lungha la superfice. Corpo si è cosa che è lungha e anpia e alta come sono le case, e' possi e lle colonne e simile cose. Et, perché noj in prima vogliamo tractare di misurare le superficie che sono in piano sì vogliamo mostrare le diversità delle superfice, delle quale la prima maniera si è cerchio, cioè canpo ritondo, lo quale si contiene socto uno termine, cioè socto una linea ritonda la quale si chiama periferia, e dentro dal cerchio si à uno punto dal quale tucte le lineee ricte che vanno alla periferia sono eghuale in tra lloro e quel punto si chiama centro del cerchio. Et dej intendere che ogni superfice e ogni corpo si chiama fighura. Diamitro del cerchio è una linea ricta ched è tracta dentro dal cerchio e passa per lo centro et è terminata, da anburo parte, della periferia; lo quale diamitro parte lo cerchio in 2 parte eghuale. Mezzocerchio si è fighura che si contiene socto a 2 terminj de' quali l'uno si è lo diamitro del cerchio e l'altro si è mezza la periferia del cerchio. Parte di cerchio si è fighura che si contiene socto una linea ricta e socto una parte della periferia, sia più vel meno di mezzocerchio. Sectore di cerchio si è una fighura la quale si contiene socto 2 linee ricte e uno arco, cioè una parte della periferia; le quale 2 linee riete si muoveno dal centro e sono terminate dalla periferia del cerchio et perciò ciaschuna di queste 2 linee è metà del diamitro del cerchio. Fighure rectelinee sono quelle che sono terminate di tre reete linee, si chiamano trianghulj rectilinej; de' qualj sono: trianghulj equilantj, et trianghulj equicurij et trianghulj diversilaterj. Trianghulj equilaterj sono quelli che ànno tuctj e tre le latora eghualj. Equicurij sono quellj che ànno pure le 2 ghanbe cioè le 2 latora eghuale. Diversilaterj sono quellj che ànno tucte e tre le latora non eghualj. Et, di questj trianghulj, che dictj sono, sono trianghulj che si chiamano ortogonij et d'altrj che si chiamano anpligonij et d'altri che si chiamano agutjanghuli. Trianghuli ortogoni sono quellj che ànno l'uno cantone ricto Ampligonij sono quellj che ànno l'uno ' cantone anpio, cioè maggiore che cantone ricto. Agutianghuli sono quelli che ànno tucti e tre li cantonj agutj, cioè minorj che cantonj rictj. Le fighure che sono terminate di quactro linee si chiamano quadrilaterj et sono di quellj alquanti che si chiamano quadratj, et altrj che si chiamano una parte più lungha, et altrj che si chiamano ronbj, et altrj che si chiamano ronbiodj, et altrj che si chiamano trapesi. Li quadrilaterj che si chiamano quadratj, vel tatragonij, sono quellj che ànno tucte e quactro le latora eghualj e tuctj e 4 li cantonj rictj, come è lo scacchierj da giocare a scacchj. Et quellj che si chiamano altra parte più lunga sono li quadrilaterj che sono più lunghj e anpij e ànno tuctj e quactro li cantonj rictj, come sono li taulierj da giocare a taule. Li ronbj sono quelli che ànno tucte e quactro le latora eghualj e li cantoni non rictj ma oppositj, che li - sono aghutj e llj 2 anpij, et ànno forma di bricchaldello. Li ronbiodi sono quelli che sono più lunghi che anpij et ànno li cantoni oppo  sitj li 2 strectj, cioè aghutj, e li 2 anpij. Tuctj gli antri quadrilantj, di qualunqua facta sono, si chiamano trapesi. Et tucte l'antre fighure che ànno più di 4 latora si chiamano moltilaterj. Et dei intendere ancora che '1 termine è fine della cosa, et che ogni tucto è più che parte, e che se alle cose che sono eghuale si giungeranno cose eghuale tucte seranno eghuale. Et se, delle cose eghuale, tu caveraj cose eghuale quelle cose che riamarrano si sono eghuale. Et se, sopra alle cose che non si sono eghuale, si sono giunte cose eghuale tucte quelle cose saranno non eghuale. Et se, delle cose non eghuale, caverai cosa eghuale quelle che rimaranno saranno non eghuale. Et se, alle cose che non si sono eghuale, si sono agiunte cose non eghuale tucte quelle cose de' non essere eghuale. Et se, delle cose non eghuale, si [è] tolto cosa non eghuale quelle che rimarrano si sono tucte eghuale. E quelle cose che si sono doppie d'una cosa sono in tra lloro ighuale cose. Del misurare della terra: dei sapere menare linea ricta da uno punto ad altro, et, possa quella linea, dei sapere menare dall'una parte e dall'antra rictamente in infinito e da ognia punto e se per ogni spatio dei sapere centeriare cierchio e che gli anghuli che sono al centro siano rictj. Et dei intendere che se, in tra 2 linee, cadrà una linea che faccia, dall'una parte dentro, 2 cantoni che siano minori che cantoni dirictj cioè acuti: se da quella parte quelle linee si sono traete in infinito si si giungeranno insieme; sì come tu vedi la linea del' a.b., che

cade sopra la linea del c.d. e del' e.f., che se traggemj fuora le linee della parte del' e.c. si si giungeranno insieme. Et poi c[h]'abbiamo dicto di queste cose, e sono ben sapute e intese, si vuole dire che in ogni luogho lo misurare della terra si fa per uno modo; ma lo accogliere cioè lo trovare della quantitade de' pessi delle terre si fa per diversi modi, ché chi l'accoglie a braccia, e cchi a passi, e echi a pertiche e cchi a ccorda, e cchi fa carubbe, e cchi rinpennj, e chhj gumera, e cchi moggiora, e chi staiora.

[...]

 
 

Da poy che abbiamo tractato del misurare et del dividere le terre sì ne' monti' come ne' pianj suffitientemente, si conviene che diciamo lo modo di misurare l'altessa delle torre e de' montj e le lunghesse e larghesse de' planj con istrumentj et con soctigliesse d'altre cose.

Se vuoj sapere l'altessa d'alcuna torre, pone una asta ricta in del piano dinantj da te di ver la torre, et sia più lungha che tu si' come tu vedi in questa prezente fighura; et sia l'asta a.l. et tu sia c.d.. Et or righuarda movendotj, là e qua in dirieto e innansj, sicché tu veggi per lo a. la sommità della torre, cioè lo punto .f.. Et or considera la proportione del c.g. al g.a. che, come è lo c.g. al g.a., così è 'l c.h. al' h.f., ché se 'l c.g. è doppio del g.a. così lo c.h. è doppio del' h.f., ché quanto 'l c.g. è allo g.a. cotanto, sansa alcuno dubbio, è 'l c.h. al' h.f.; et quant'è F a.g. al c.g. tanto, sansa fallo, è lo f.h. al' h.c.; e llo .f.h. è la tore et quant'è lo d.b. al g.a. cotanto è lo .d.i. allo .f.h..

Et se avessj fiumo, overo alcuno altro impedimento in tra] .c. e l'h. sicché non potessi andare alla radice della torre, unde per soctigliessa te la convengha trovare. Perciò piglia lo a.g.l. cioè l'asta overo un'altra simile et torna in dirieto con essa 30 govitj, overo quanto ti piace, et polla ricta come di prima; et ora righuarda sicché in diricto tu vegghj per lo m. lo k. in fine allo .f. che è la somità della torre. Et or considera: quant'è lo m.e., vel n.l. al' e.k., cotanto è lo m.h., vel n.i., al' h.f. Et or traggi el c.d., vel h.i. vel l.e. vel g.b., del' a.g. vel del' l.k. et considera che rimane l'altessa della torre da inde in su. Et pensa: se trovastj 'l c.h. 2 tanto che l' h.f. et poj lo m.h. 4 cotanto che l' h.f., cava 'l c.h. del' m.h., Cioè 2 di 4, rimane 2, per la qual cosa diraj che l' m.c. è 2 tanto che l' h.f.. Et perché meglio la ntendi, dona 10 ghovitj al c.h. e 30 al' m.h. et se trovj lo c.h. 3 tanto che l' h.f. et l' m.h. 7 tanto che l' h.f., cava 'l c.h. del' m.h., cioè 3 di 7, tanto che l' h.f., cava 'l c.h. del' m.h., cioè 3 di 7, rimane 4; per la qual cosa diraj lo m.c. essere 4 tanto che l' h.f..

Se vuoy sansa mutatione d'asta sapere l'altessa d'una torre overo di uno monte, raghuarda alla prezente fighura et così faraj. È lla torre, overo monte, a.b., piglia un'asta che sia 2 ghuvitj più lungha di te et polla dinantj a cte diricta in del piano, et or cosidera questa asta la quale è lo e.d.c.. Et mecte lo spicito tuo visuale diricto dal' f. per lo d. in fine al' a. che dividraj l'asta al punto del .d. Et mira quanto è lo f.e. allo c.d., ché cotanto è lo f.g. al g.a.. Et or torna in dirieto infine a tanto che ctu vegghj lo h. per lo c. in fine al' a., ched è la sommità della torre overo del monte. Et tanto quanto è lo h.e. allo e.c., cotanto lo h.g. al g.a.. Trovastj forse innantj lo f.g. essere 4 cotanto che 'l . g. a. et poj trovastj che 'l . g. h. era 10 tanto che 'l . g. a. ; unde cava .f.g. del' .h.g., cioè 4 di 10, rimarrà 6; et così è lo h.f. 6 cotanto che 'l g.a. o, vuoi dire, lo g.a. è sexto del' h.f..

Se per uno specchio overo per una conca piena d'acqua l'al- tessa di uno monte sapere desiderj, piglia uno specchio et pollo presso al monte a piano et tu te medesino e lo specchio posto in terra muove, muove, muove qua e là, infine a tanto che ctu veghj lo .a.'in del b., cioè la somità del monte in mezzo dello specchio. Et mira quant'è et com'è la proportione avicendevilmente del b.c. al .c.d., così com'è 'l b.c. al c.d. così è lo b.c. al' c.a.. La qual cosa puoj provare così: cioè che ctu andraj con quello specchio in di- rieto quanto ti parrà et porrailo in terra et faraj che ctu veggj, movendo te e llo specchio, lo a.d. in dello a.t.. Et or cava dello .e.t. lo b.c. et faraj come facestj di sopra, che troveraj la pro- portione del t.b. allo c.a..

Se la larghessa overo lunghessa d'alcuno piano vuoj sapere, ordina uno quadrato di legnio overo di rame sì come tu vedi lo .a.b.c.d. da ognj canto quadro et da ognj lato eghuale. Et tanto quanto è maggiore tanto è meglio; et or porraj in ciascuno anghulo una staggia d'una medesma lungbessa et stiano eghualmente ricte. Et questo quadrato sia in tra l' a e 'l b. cavato reghularmente, in della qual cavagione sia un corsore in sul quale porravj i legnio simigliante agli autrj lo qual si possa muovere e sia quel fusto lo e.. Et ciò facto, dej contenplare sì che ctu veggj per lo .c.b. per fine al termine della lunghessa, overo della larghessa, d'alcuno canpo, o d'altra cosa di cuj tu vuoy sapere la misura, lo cuj termine sia lo A.. Et poj eghualmente questo quadrato divide dal lato del' a.b. in quante parte vuoj, o vuoj in 30 0 vuoi in 40, o in più o in meno sigliondo che ctu vuoj. Et in quella divisione divide lo a.d. et poj muove tanto lo e., qua e là, infine che ctu vedi lo f. per lo .d.e. non mutando lo lato del b.c. che si ghuar- da in diricta linea col' L. Et ora considera in che parte sia lo e. in tra l' a. e 'l b.; et poj mira che parte è l' e.a. al' a.b. inperoché tanto quanto est lo e.a. allo a.b., cotanto sarà lo d.c. al .c.b.f.; et quant'è la proportione del' c.a. allo a.b., cotanto è quella del' a.d. al c.b.f.. Et per questo modo puoj sapere ognj larghessa et ognj lunghessa che ctu vuoj misurare.

Se vuol sapere la latitudine d'alcuno fiume, o d'altra cosa, piglia uno legnio che cti giungha in fine agli occhj et abbine un altro che sia minore uno ghovito. Et pone lo primo legnio, cioè lo maggiore, alla riva dell'acqua et tu sta' presso a lluj et sia lo legnio a.b.. Et or pone l'altro legnio diricto dal lato a., sì come tu vedi questo c.d., et or considera di vedere per a.d. infine al'altra ripa del fiume segniata e.. Inperciò ch'io ti pognio che lo .b.c. sia la larghessa del fiume et lo a.e. è lo verso indirecto. Et però considera quant'è lo a.c. al c.d., ché così come è lo a.c. al c.d. così è lo a.c.b. al b.e.; pensa: se 'l c.d. è doppio de l' a.c. che 'l b.e. è doppio del b.c.a. et s'è tre tanto l'uno, tre tanto l'altro et se tanto, tanto. Et questo è sansa dubbio.

Ancora volendo sapere per altro modo questa latitudine del fiume, pone questa asta minore in sulla ripa del fiume, la quale sia a.b., quasi come a pecto. Et piglia l'altra maggiore che ctj giungie in fine agli occhj, la quale sia lo c.d.. Et torna in dirieto quanto ti pare et pone l'asta ricta 'a tuoj piej movendo qua e là tanto che ctu vegghj l'altra riva del fiume segniato e., per lo .c., a diricto lo .a.. Et or traggie lo .a.b. del .c.d. et rimarrà .c.f.. Et or mira la proportione che è dal' .a.f. al' f.c., ché sì com'è lo .a.f. allo .f.c. così è lo .e.b. al .b.a. Inperoché se .a.f. è 3 cotanto che .f.c., 3 tanto sarà lo .e.b. al .b.a. Et così degli altrj.

Se la profondità di possj, cisterne o fosse, cercassj di sapere sansa misura, proveraj così. Piglia uno legnio diricto e pollo in sulla boccha del posso et questo legnio sia allato alla boccha del posso quanto più si può. Et un altro legnio simile a questo esca socto lo piede di questo si che faccino anghulo ricto. La profondità del posso siea a.e. e ll'asta diricta sia lo a.d. et l'altra asta che gli esce da piè sie lo a.c.b., la qual giace in sulla boccha del posso et taglia lo d.e. ad anghulo ricto al punto del' a.. Ora ghuarda e mira per l'onbra del posso sicché tu veggj lo d.c. in del' .f. Et sappj quantj palmj, overo uncie, trovj lo a.c.; inperoché quanto è la proportione del' a.c. al' a.d. così è lo a.c.b. al d.a.e.. Mira se lo a.c. è uno palmo e llo a.d. 3, overo 4; sed è 3, 3 volte troveraj lo a.c.b. in del .d.a.e et se è 4, quactro volte. Però caveraine lo a.d. et rimarrà lo a.e. che è la profondità del posso 12, inpercioché 'l terso ne cavammo per lo d.a.. Et così per la proportione del' .a.c. al' .a.d., puoj sapere tucte le profondità de' possj.

Explicit Pratiche geometrie.

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