Il giardino di Archimede  Un museo per la matematica

Misurazioni a distanza nella Pratica della geometria di Cristofano di Gherardo di Dino

dalla Pratica geometriae di Leonardo Pisano

Incipit septima distinctio de inuentione altitudinum rerum e elevatarum et profunditatum atque longitudinum planitierum

Si vis metiri aliquam altitudinem : Erige astam in plano: et fac eam stare orthogonaliter super ipsum planum: et elonga te ab ipsa asta, et ab altitudine metienda: et pones oculum in terra prospiciens per summitatem aste : et si visus tuus transibit ad punctum summitatis metiende altitudinis, signa punctum in terra in locum ubi erit oculus. Et si linea egrediens ab oculo tuo per summitatem aste non venerit ad punctum summitatis altitudinis ipsius, muta te retro vel ante donec linea progrediens ab oculo tuo per summitatem aste, ascendat recte ad summitatem altitudinis predicte: et tunc erit proportio plani, quod est inter oculum et rem elevatam ad ipsam rem elevatam quam uis metiri sicut planum, quod est inter oculum et astam ad ipsam astam.

Verbi gratia. Sit altitudo ab., que sit erecta super planum, in quo sit linea .bc.; quare angulus .abc. erit rectus et in ipso plano, et super rectam .bc. orthogonaliter erigatur asta .de.; et punctus .c. sit oculus tuus a quo transeat linea .ac. ascendens per summitatem aste, que est punctus .e.; et erit trigonum .abc. ex summitate .ab. et linee .bc. existens in plano; et ex linea ac, quam facit oculus tuus et trigonum .edc. erit ex asta .ed. et ad planum .dc. et linea .c.e.: trigona quidem .abc. et .edc., sibi invicem sunt similia, quia sunt equiangula ; est enim uterque angulorum .abc. et .edc. rectus: et angulus qui ad .c. utrique triangulo est comunis; reliquus qui ad .a. reliquo qui sub .ccd. est equalis: equiangula ergo sunt trigona .abc. et .dec., quare et similia. Similia enim trigona circa equales angulos habent latera proportionalia ; est enim sicut .cd. ad .de., ita .cb. ad .ba. Vnde si .cd. et .de., scilicet spatium quod est inter oculum et astam; et ipsa asta .de. fuerint nota, erit nota linea .cb.; erit utique nota et altitudo .ab.: quia si equalis est .cd. ex .de. , equalis erit .cb. ex .ba.; et si maior, maior et si minor, minor: Que ostendantur cum numeris. Esto asta ed. quinque palmorum ; et spatium .cd. sit equale ei ; et sit spatium .cb. 30. ulnarum; erit propter hoc et altitudo .ab. similiter .30. ulnarum, cum .cd. sit equalis .de., ut in prima figura patet.

Item esto .cd. maior asta .ed., erit propter hoc et planum .cb. maius altitudine .ab., ut in hac secunda figura patet, in qua ponimus spatium .cd. 12 palmorum: et astam .ed. octo palmorum; et planum .cb. .60. ulnarum. Quare erit ut .cd. ad .de., hoc est sicut .12. ad .8.; uel in minoribus numeris sicut .3. ad .2., ita .cb. ad .ba.: unde si multiplicaverimus .60. per .2., et diviserimus per .3., uenient ulne .40. pro altitudine .ab.

Rursus esto .cd. minor quam .de. Quare spatium .cb. erit minus altitudine .ab., ut in hac tertia patet figura; in qua ponimus .cd. .9., scilicet spatium quod est inter oculum et astam: et astam .ed. .12., et planum .cb. .45. Quare quantum addit .ed. super .dc., tantum addet altitudo .ab. super planum .bc.: est enim .ed. ad .dc. proportio sexquitertia. Quare altitudo .ab. addit super planum .cb. tertiam eius que est .15.; et sic altitudo .ab. est .60.: uel si .45., scilicet .cb., multiplicentur per .12. , hoc est per .ed.; et summa diuidatur per .cd., scilicet per .9., venient .60.: pro altitudine .ab.: uel si .cb. multiplicetur per 1/3 ex .ed., et diuidatur per 1/3 ex .cd., uenient similiter .60. pro .ab.: uel si 1/3 ex .cb. multiplicetur per 1/3 ex .ed., venient .60. pro altitudine .ab..

Ex hoc quidem quidam uolens metiri in nemoribus arbores aptas navibus talem modum acceperunt: habent arundinem equalem sue stature quam habent ab extremitate tali usque ad oculum; et ponunt se in terra contra arborem, quam metiri uolunt, extense tenendo arundinem orthogonaliter erectam secus extremitatem utriusque tali, ut quanta sit altitudo arundinis , tanta sit longitudo stature a talo usque ad oculum ipsius; et mutant se aliquando uersus arborem appropinquando, aliquando elongando ab ea; et hoc faciunt donec transeat uisus eorum per summitatem arundinis ad summitatem arboris : et tunc quanta est longitudo, que est inter oculum et pedem arboris, tantam dicunt esse altitudinem arboris. Verbi gratia : sit altitudo arboris .ab., arundinis .cd., et statura hominis .de.; et sit .e. oculus eius cuius uisus linea .ae. transiens per punctum .c.; et tunc erit .eb. sicut .ed. ad .dc., ut superius ostensum est.

Geometre vero volendo aliquam subtilitatem geometricam ostendere, stant non multum longe ab arbore, et cum arcu duas sagittas sagittant ad arborem, vnam ad radicem eius et aliam ad punctum sumitatis eius; sed unicuique sagitte ligant unum filum et tendunt ipsa fila perducentes ea ad unum punctum in plano, facientes ex ipsis filis et ex arbore trigonum orthogonium cuius cathetus est ipsa arbor; et eius basis est filum sagitte ad pedem arboris protracte et eius ypothenusa est filum alterius sagitte quod obtendit angulum rectum. Verbi gratia : sit arbor linea .ab.; et filum inferioris sagitte sit .bc., et filum alterius sit .ac. Cumque utriusque fili mensuram habuerint : quadratum fili .bc. extrahteur ex quadrato fili .ac., remanet eis quadratum arboris .ab.: ut si filum .ac. fuerit cubitorum .50., et filum .bc. fuerit .30., auferatur quadratum de .30., quod est .900., de quadrato de .50., quod est .2500., remanebunt pro quadrato arboris .ab. 1600.; cuius radix, que est .40, est altitudo arboris .ab.

Possums etiam dimensionem cuiuscumque altitudinis per aliquem triangulum ligneum habere, dum in ipso triangulo ab uno angulorum cathetus producta fuerit et basis super quam cathetus cadet ponatur in plano. Verbi gratia: sit altitudo metienda .ab.; et triangulus ligneus esto .e.c.f., cuius cathetus esto .ed.; et stet trigonum .ecf. super planum altitudinis ita ut linea .ed. stet orthogonliter super ipsum planum et tunc ponant oculum super latus trigoni .ec.; qui oculus sit .h. , et aspiciat per punctum .e.: et si visus tuus transeundo per .e. venerit ad .a., erit sicut .cd. ad .de., ita .cb. ad .ba. : et si visus transeundo per .e. venerit inter .ab., apropinquabis triangulum ad altitudinem .ab.: et si idem uisus ascendet super altitudinem .ab., reduces triangulum retro, et facies semper cathetum .ed. orthogonaliter stare super planum, fulciendo ipsum triangulum cum lapillis et cum terra; et hoc facies donec oculus tuus per .e. uideat .a. : et cum hoc factum fuerit erit ut dixi sicut .cd. ad .de., ita .cb. ad .ba.: ut si .cd. fuerit .3. cuiuscumque mensure et .de. fuerit .4., et .cb. .30. passuum erit propter hoc altitudo .ab. passus .40.; quia .ed. addit super .cd. tertiam eius: quare et .ab. addit similiter tertiam super .cb.: uel si .cb. multiplicetur per .ed., et suma diuidatur per .cd., uenient similiter .40. pro altitudine .ab.

[...]

Misurazioni a distanza nella Pratica della geometria di Cristofano di Gherardo di Dino

Il Giardino di Archimede per la Storia della matematica a scuola

Pagina principale de Il Giardino di Archimede