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Il giardino di Archimede
Un museo per la matematica |
Sia dato l'asse AX e più curve come VV, WW, YY, ZZ, e le ordinate di un loro punto, normali all'asse, siano VX, WX, YX, ZX: queste si dicono rispettivamente v, w y, z; ed il segmento AX, tagliato sull'asse, sia detto x. Le tangenti siano VB, WC, YD, ZE, le quali incontrano l'asse rispettivamente nei punti B, C, D, E. Ora un segmento, preso ad arbitrio, sia detto dx ed un segmento che sta a dx come v (o w, o y, o z) sta a BX (o CX, o DX, o EX) sia detto dv (o dw o dy, o dz) ossia la differenza delle stesse v (o delle stesse w, o y, o z). Ciò posto le regole saranno queste: siauna quantità data costante, sarà
e
. Se abbiamo y=v (ossia se un'ordinata qualsiasi della curva YY è uguale a una qualsiasi ordinata corrispondente della curva VV), sarà
. Addizione e sottrazione: se si ha
, sarà
. [...]
data una relazione tra quantità fluenti, trovare la relazione tra le loro flussioni, e viceversaenunciato che compariva già sotto forma di anagramma in una lettera a Leibniz del 1676. Così per esempio se
Sezione I Metodo delle prime e ultime ragioni col cui aiuto si dimostrano le cose che seguono. Lemma I Le quantità come anche i rapporti tra quantità che costantemente tendono all'uguaglianza in un qualsiasi tempo finito e prima della fine di quel tempo si accostano l'una all'altra più di una qualsiasi differenza data divengono infine uguali. Se ciò non fosse da ultimo sarebbero disuguali, e sia D la loro differenza ultima. Dunque non potranno avvicinarsi all'uguaglianza più della differenza data D. E questo è contro l'ipotesi.
D'ora in poi chiamerò fluenti queste quantità che considero crescenti gradualmente e indefinitamente e le rappresenterò con le ultime lettere dell'alfabeto u, y, x, e z, perché si possano distinguere dalle altre quantità che nelle equazioni si considerano conosciute e determinate, e queste si indicano con le prime lettere dell'alfabeto a, b, c, ecc. Le velocità invece con cui le fluenti aumentano per il movimento che le genera (velocità che chiamo flussioni o semplicemente velocità o celerità) si esprimono con le stesse lettere dotate di un punto, così u, y, x, e z; cioè per la velocità della quantità u pongo u e allo stesso modo per le velocità delle altre quantità x, y, e z scriverò rispettivamente x, y, z.
Premesso ciò proseguirò nel trattare l'argomento intrapreso, e inizialmente darò la soluzione di due problemi prima proposti.Problema I
Data una relazione tra quantità fluenti determinare la relazione che intercorre tra le loro flussioni.