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Il giardino di Archimede
Un museo per la matematica |
Sui numeri
1. Le serie numeriche
1. Definizione. Chiamo serie numerica una serie di numeri,
, ...,
, ... se per ogni numero dato
diverso da zero, sufficientemente piccolo, esiste un valore
tale che
per ogni intero positivo
è minore di
.
Osservazione. La parola numero senza altre aggiunte significa sempre nel capitolo A numero razionale. Lo zero sarà qui considerato un numero razionale.
2. Definizione. Ogni serie numerica in cui i numeri, con indice
crescente, sono minori di una grandezza data, la chiamo serie elementare. [...]
I numeri razionali formano la base per la definizione del successivo concetto di grandezza numerica; dirò che essi formano un dominio A (ed includo in essi lo zero). Quando parlo di grandezza numerica in senso esteso è il caso presentato da una successione infinita di numeri razionali
che hanno la proprietà che la differenzadiventa infinitamente piccola al crescere di
, qualunque sia
numero intero positivo, o in altre parole che per un
arbitrario (intero positivo) esiste un intero
tale che
, quando
e
è un numero intero arbitrario. Esprimo la proprietà della successione (1) dicendo che la successione (1) ha un limite definito
[...].
Se c'è una seconda successione
che ha un limite definito, si trova che le due successioni (1) e (1') possono essere in relazione tra loro in uno dei seguenti tre modi, che sono mutuamente esclusivi: o (i)
diventa infinitamente piccola al crescere di
, o (ii)
da un certo
in poi rimane sempre più grande di una quantità positiva (razionale)
, o (iii)
da un certo
in poi rimane più piccolo di una certa quantità negativa (razionale)
.
Se si verifica la prima condizione pongo, se si verifica la seconda
, se si verifica la terza
.
IV. Le ultime parole illuminano chiaramente la via per la quale si può giungere a un campo continuo ampliando il campo discontinuo R dei numeri razionali Nel paragrafo I abbiamo rilevato che ogni numero razionale a determina una ripartizione del sistema R in due classi,
di tale natura che ogni numero
della prima classe
è minore di ogni numero
della seconda classe; il numero
stesso è o il numero massimo della prima classe o il numero minimo della seconda. Ora, noi chiameremo sezione e indicheremo col simbolo
ogni ripartizione del sistema R in due classi
,
chee goda soltanto di questa proprietà caratteristica che ogni numero della classe
sia minore di ogni numero della classe
.
Possiamo dire allora che ogni numero razionale a determina una sezione o piuttosto due sezioni, le quali però noi non considereremo come essenzialmente distinte. Questa sezione gode inoltre della proprietà ulteriore che o tra i numeri della prima classe esiste un numero massimo o tra i numeri della seconda classe esiste un minimo. E inversamente, se una sezione gode di quest'ultima proprietà allora essa è prodotta da questo numero razionale massimo o minimo.
Ma è facile provare l'esistenza di infinite sezioni non prodotte da nessun numero razionale. L'esempio più semplice è il seguente. [...]
(traduzione di Oscar Zariski)
1. Diremo variante un numero variabile (intero o frazionario, positivo o negativo),(segue la costruzione di Meray in cui le varianti giocano un ruolo analogo alle successioni di Cantor)il cui valore dipende dai numeri interi m, n, ... che assumano tutte le combinazioni di valori possibili e che chiameremo suoi indici. [...]
2. Se esiste un numerotale che si possa prendere m, n, ... abbastanza grande affinché la differenza
sia, in valore assoluto, inferiore a una quantità così piccola come si voglia, per certi valori degli indici e per tutti i valori più grandi, si dice che la variante
tende o converge verso il limite
.
Quando, la variante
si dice una quantità infinitamente piccola; tale è ad esempio la differenza tra una variante e il suo limite. [...]