Il giardino di Archimede  Un museo per la matematica

Breve storia della trigonometria

La trigonometria greca. L'invenzione della trigonometria si può associare con un certa sicurezza agli studi astronomici della scuola geometrica di Alessandria. La città egiziana di Alessandria, che porta il nome di ALESSANDRO MAGNO che la fondò nel III secolo a. C., fu la capitale del regno ellenistico dei TOLOMEI fino alla conquista romana. La sua posizione centrale nel mondo mediterraneo dell'antichità, una politica culturale illuminata da parte dei governanti, che la dotarono di una biblioteca famosa per più di un millennio, una delle sette meraviglie del mondo, fecero di Alessandria il centro della matematica greca fin quasi alla conquista araba, e il ponte attraverso il quale la geometria classica è pervenuta, mediante la tradizione araba, fino all'età moderna. Uno dei tratti della matematica alessandrina, accanto agli studi di matematica pura che proseguirono vigorosi per vari secoli, fu un'attenzione costante per le applicazioni scientifiche e tecniche, e di conseguenza per una matematica quantitativa, attraverso la quale i risultati teorici della geometria classica potevano trovare il loro corrispettivo nelle scienze della natura. Vengono così sviluppate, accanto alle matematiche tradizionali, una serie di nuove discipline, che oggi chiameremmo col nome di matematica applicata, che spaziavano dall'ottica alla pneumatica, dalla meccanica alla geodesia. Questo nuovo punto di vista trova un terreno particolarmente favorevole in astronomia, dove a un'indagine prevalentemente cosmologica, mirante cioè a indagare la struttura dell'universo e le cause dei moti degli astri, il cui massimo esempio sono le opere aristoteliche, in particolare la Fisica e il trattato Del cielo, si sostituisce un'astronomia quantitativa, capace di prevedere i fenomeni celesti (posizioni dei pianeti, eclissi, congiunzioni) e quindi di essere di aiuto in una serie di attività umane, come la determinazione dell'ora, la misura dell'anno, la geografia, la navigazione, e non ultimo la compilazione degli oroscopi. L'astronomia quantitativa ha bisogno di una geometria altrettanto quantitativa, in particolare di una geometria della sfera, dato che sulla sfera celeste si svolgono i moti di cui si vuole costruire una teoria. Di qui la spiegazione del fatto che gli inventori della trigonometria sono gli stessi astronomi che l'avrebbero applicata allo studio del cielo, e di quello un po' paradossale che la trigonometria sferica (cioè lo studio dei triangoli sferici, tracciati sulla superficie della sfera e i cui lati sono archi di cerchio) preceda storicamente la trigonometria piana, contro la scala naturale delle difficoltà. Il fondatore della trigonometria è probabilmente IPPARCO DA RODI (II sec. a. C.), che visse per lo più ad Alessandria, anche se prima di lui avevano trattato brevemente di geometria sferica EUDOSSO di Cnido (c. 408-365 a. C.) ed EUCLIDE di Alessandria (III sec. a. C.), meglio noto come l'autore degli Elementi. Contributi fondamentali alla trigonometria sferica sono dovuti a TEODOSIO di Tripoli (I sec. a. C.) e MENELAO di Alessandria (I-II sec. d. C.), ambedue autori di volumi noti col titolo di Sphaerica. Ma la maggior parte di notizie sui metodi trigonometrici alessandrini ci vengono dal massimo astronomo dell'antichità: TOLOMEO CLAUDIO (II sec. d. C.), che con la sua opera dal titolo Composizione matematica, che poi venne mutato in Grande composizione ( $\mu\epsilon\gamma\acute{\alpha}\lambda\eta \; \; \sigma\acute{\upsilon}\nu\tau\alpha\xi\iota\varsigma$) dai suoi ammiratori, per poi assumere definitivamente il nome arabo di Almagesto (una derivazione dal greco $\mu\epsilon\gamma\acute{\iota}\sigma\tau\eta$, il massimo), pose le basi della teoria astronomica che dominò la scena scientifica fino al XVII secolo. La differenza fondamentale tra la trigonometria greca e la moderna è che al posto dei seni la trigonometria alessandrina usa le corde. Seguendo la tradizione babilonese, che è in parte in uso ancor oggi, la semicirconferenza veniva divisa in $180$ parti uguali, i gradi, e il suo diametro in $120$. Viene così a formarsi una specie di goniometro, in cui la parte tonda serve a misurare gli archi, e la piatta a misurare le corde relative. Ad esempio, la corda di un arco di $180$ gradi (un angolo piatto) è $120$, la misura del diametro nella scala piatta; quella di un angolo di $60^{\circ}$ (l'angolo dell'esagono regolare) è $60$.1.1 In generale, in un angolo $AOB$, l'arco $AB$ è misurato in gradi (cioè in unità tali che la circonferenza misura $360$) e la corda $AB$ è misurata in unità tali che il raggio $OA$ sia $60$. Osserviamo che siccome a un diametro di lunghezza $120$ corrisponde una semicirconferenza di lunghezza $60 \pi$, le unità di misura degli archi e delle corde sono differenti. Esse sarebbero le stesse se $\pi$ fosse uguale a $3$; data l'antichità del sistema di misura, non è escluso che la sua origine sia dovuta a un'approssimazione $\pi =3$ che si trova in tempi piuttosto primitivi. Non è difficile trovare la relazione tra la corda e il seno di un angolo. Infatti se dividiamo l'angolo $\alpha$ a metà si ha $$\begin{eqnarray*} OA &=& 60, \\ \stackrel{\frown}{AB} &=& \alpha \; \; \mbox{... ... &=& 120 \times \mathop{\rm sen}\nolimits \, \frac{\alpha}{2} , \end{eqnarray*}$$ e quindi, se indichiamo con $c(\alpha)$ la misura della corda $AB$, $$c(\alpha) = 120 \mathop{\rm sen}\nolimits \, \frac{\alpha}{2}$$ ossia $$\mathop{\rm sen}\nolimits \, \alpha = \mbox{$\frac{1}{120}$} c( 2\alpha).$$ Nel primo libro dell'Almagesto di TOLOMEO troviamo tra le altre cose una tavola delle corde, che procede di mezzo grado in mezzo grado da $1^{\circ}$ a $180^{\circ}$. Di esse ci si può servire per la risoluzione dei triangoli. Vediamo come si opera per un triangolo rettangolo $ABC$. Se sono dati due lati, si trova il terzo mediante il teorema di PITAGORA (VI sec. a. C.). Per trovare gli angoli, si osserva che un triangolo rettangolo può essere inscritto in una semicirconferenza di diametro uguale all'ipotenusa. Se ora si sceglie l'unità di misura in modo che l'ipotenusa $AC$ misuri $120$, il lato $BC$ sarà la corda corrispondente all'angolo al centro $2\alpha$; dalla tavola delle corde si ricava allora $2\alpha$, e quindi $\alpha$. Naturalmente, si può fare a meno di ricondursi a un'ipotenusa di lunghezza $120$; basterà cercare l'arco $2\alpha$ corrispondente alla corda $BC \times \frac{120}{AC}$. Allo stesso modo si procede se si conosce un lato e un angolo; ad esempio l'ipotenusa $AC$ e l'angolo $\alpha$. Scelta sempre l'unità di misura in modo che sia $AC=120$, dalla tavola delle corde si ricava la corda $BC$ corrispondente all'angolo $2\alpha$, e quindi il lato $AB$ con il teorema di PITAGORA. Ancora una volta, si può fare a meno di ridursi all'ipotenusa $120$; si ha infatti $$BC = \frac{AC}{120} c(2\alpha).$$ In questo modo, si riesce a risolvere ogni triangolo rettangolo. I triangoli generali venivano poi ricondotti a triangoli rettangoli. Più complessa è la costruzione della tavola delle corde. Queste infatti sono note solo per alcuni angoli (quello di $60^{\circ}$, come abbiamo visto, o anche quello di $36^{\circ}$, la cui corda è il lato del decagono regolare), in numero troppo piccolo per poter essere sufficienti a costruire delle tavole abbastanza precise. Questi valori, noti esattamente o con molta precisione, servono come punto di partenza; per trovare gli altri c'è bisogno di formule analoghe a quelle di addizione e sottrazione, e a quelle di bisezione. La chiave per ottenere tali risultati è il teorema, che si trova per la prima volta nell'Almagesto, e che porta il nome di teorema di Tolomeo. Esso dice che in un quadrilatero inscritto in un cerchio, il prodotto delle diagonali è uguale alla somma dei prodotti dei lati opposti. In formule, dato il quadrilatero $ABCD$ in figura, si ha $$\overline{AC} \times \overline{BD} = \overline{AB} \times \overline{CD} + \overline{AD} \times \overline{BC}.$$ Tolomeo si serve di questo teorema nel caso in cui $AD$ è un diametro. Se si pone $\alpha = \stackrel{\frown}{AB}$ e $\beta = \stackrel{\frown}{AC}$, si ha $\stackrel{\frown}{BC}= \beta- \alpha$, $\stackrel{\frown}{BD}=180-\alpha$ e $\stackrel{\frown}{CD}=180-\beta$. Dal teorema di Tolomeo segue allora $$c(\beta) c(180-\alpha) = c(\alpha) c(180-\beta)+120 \, c(\beta-\alpha).$$ (1.1) D'altra parte, i triangoli $ACD$ e $ABD$ sono rettangoli, essendo inscritti in una semicirconferenza; per il teorema di Pitagora si ha allora $$\begin{eqnarray*} \overline{AC}^{2}&+&\overline{CD}^{2}=\overline{AD}^{2}=120^{... ...overline{AB}^{2}&+&\overline{BD}^{2}=\overline{AD}^{2}=120^{2} \end{eqnarray*}$$ e quindi $$\begin{eqnarray*} c^{2}(180-\beta)&=&120^{2}-c^{2}(\beta)\\ c^{2}(180-\alpha)&=&120^{2}-c^{2}(\alpha). \end{eqnarray*}$$ Di conseguenza, nella (1.1) tutti i termini sono noti, e si può ricavare la corda di $\beta-\alpha$: $$c(\beta-\alpha)= \frac{c(\beta)c(180-\alpha)-c(\alpha)c(180-\beta)}{120}.$$ (1.2) La (1.2) è equivalente al teorema di sottrazione dei seni; infatti, se ricordiamo che $c(\alpha) = 120 \mathop{\rm sen}\nolimits \, \frac{\alpha}{2}$, potremo scriverla nella forma $$120 \mathop{\rm sen}\nolimits \, \frac{\beta-\alpha}{2} = \fr... ...s 120 \mathop{\rm sen}\nolimits \, \frac{180-\beta}{2}}{120}$$ da cui, semplificando $$\mathop{\rm sen}\nolimits \, \frac{\beta-\alpha}{2} = \mathop... ...{\alpha}{2} \mathop{\rm sen}\nolimits \, (90-\frac{\beta}{2}),$$ ovvero, dato che $\mathop{\rm sen}\nolimits \, (90-\frac{\alpha}{2})=\cos \, \frac{\alpha}{2}$, $$\mathop{\rm sen}\nolimits \, \frac{\beta-\alpha}{2} = \mathop... ...\rm sen}\nolimits \, \frac{\alpha}{2} \cos \, \frac{\beta}{2}.$$ Con un metodo simile si trova la formula di bisezione. Se infatti prendiamo $\beta = 2\alpha$, abbiamo dalla (1.1) $$\begin{eqnarray*} c(2\alpha) c(180-\alpha) &=& c(\alpha) c(180-2\alpha)+120 \, c(\alpha) = \\ &=& c(\alpha) (120+c(180-2\alpha)). \end{eqnarray*}$$ Elevando al quadrato ambo i membri, e tenendo conto che $c^{2}(180- \alpha)=120^{2}-c^{2}(\alpha)$, si trova $$c^{2}(2\alpha) (120^{2}-c^{2}(\alpha)) = c^{2}(\alpha)(120+c(180-2\alpha))^{2}$$ e risolvendo $$c^{2}(\alpha) = \frac{120^{2} c^{2}(2\alpha)}{[120+c(180- 2\alpha)]^{2}+c^{2}(2\alpha)}.$$ Quest'ultima è già una formula di bisezione, in quanto dalla corda dell'arco $2\alpha$ si può ricavare quella dell'arco $\alpha$. Possiamo però ottenere una formula migliore sviluppando il denominatore: $$\begin{eqnarray*} (120+c(180-2\alpha))^{2}+c^{2}(2\alpha)&=&120^{2}+c^{2}(180-2... ...lpha) = \\ & & \hspace{-5cm}= 2 \times 120 (120+c(180-2\alpha)) \end{eqnarray*}$$ e quindi in conclusione $$c^{2}(\alpha) = \frac{60 c^{2}(2\alpha)}{120+c(180-2\alpha)} .$$ (1.3) Tramite questa equazione, TOLOMEO può calcolare le corde corrispondenti ad angoli sempre più piccoli. In particolare, dalla conoscenza degli angoli di $60^{\circ}$ e di $72^{\circ}$ egli ottiene per differenza la corda di $12^{\circ}$, e poi per successivi dimezzamenti quelle di $6^{\circ}$, di $3^{\circ}$, di $1^{\circ} \; 30^{\prime}$, e di $45^{\prime}$, delle quali si serve per costruire la tavola delle corde. Manca soltanto il calcolo della corda di $1^{\circ}$, che TOLOMEO ottiene per approssimazione, usando un risultato, che in forme diverse si incontra già in ARISTARCO di Samo (III sec. a. C.) e ARCHIMEDE di Siracusa (287-212 a. C.), e che dice che per due archi $\alpha$ e $\beta$, con $\alpha>\beta$, risulta $$\frac{c(\alpha)}{c(\beta)}<\frac{\alpha}{\beta}.$$ Applicando questa diseguaglianza agli angoli $\alpha=1^{\circ} \; 30^{\prime}$ e $\beta=1^{\circ}$ si trova $$\frac{c(1^{\circ} \; 30^{\prime})}{c(1^{\circ})} <\frac{3}{2},$$ mentre se si prende $\alpha=1^{\circ}$ e $\beta=45^{\prime}$, si ottiene $$\frac{c(1^{\circ})}{c(45^{\prime})} < \frac{4}{3}$$ e quindi $$\mbox{$\frac{2}{3}$} c(1^{\circ} \; 30^{\prime}) <c(1^{\circ} )<\mbox{$\frac{4}{3}$} c(45^{\prime}),$$ una formula che consente di trovare la corda di $1^{\circ}$ con un'approssimazione di più dell'uno per mille. In realtà, le tavole di TOLOMEO vanno di mezzo grado in mezzo grado, cosa non difficile da ottenere, dato che una nuova bisezione consente di ottenere la corda di $\frac{1}{2}^{\circ}$ a partire da quella di $1^{\circ}$.

Esercizio.

1.1   Ottenere le formule di somma e di duplicazione delle corde.

Indice: breve storia della trigonometria

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