Il giardino di Archimede
 Un museo per la matematica
Breve storia
della trigonometria

    

Sviluppi in occidente.

La trigonometria giunge in occidente soprattutto attraverso fonti arabe. Lo sviluppo medievale è molto lento, e non si ha notizia di particolari contributi degli studiosi europei prima del XV secolo. Ancora una volta, a promuovere gli studi di trigonometria sono le necessità dell'astronomia; la maggior precisione degli strumenti richiede tavole sempre più perfezionate in due direzioni, i seni vengono dati con un numero sempre maggiore di decimali, e per angoli a intervalli sempre minori. Per quanto riguarda l'intervallo tra gli archi, GEORG PEURBACH (1423-1461) calcola una tavola di seni di $10^{\prime}$ in $10^{\prime}$, mentre JOHANN MÜLLER (1436-1476), detto REGIOMONTANO dalla città natale Königsberg, alla lettera ``il monte del re'', ne compone una di primo in primo. Anche la precisione aumenta notevolmente. Questa non era data, come facciamo oggi, dal numero delle cifre decimali,1.3 ma dalla grandezza del raggio del cerchio goniometrico. Ad esempio, se si prendeva il raggio, detto anche seno toto, $R=10000$, la tavola riportava i valori di $R \mathop{\rm sen}\nolimits \, \alpha$ in numeri interi, che potevano andare da $0$ a $10000$, corrispondenti a quattro cifre decimali. Nelle sue tavole, PEURBACH aveva preso il raggio $600.000$, mentre REGIOMONTANO usa dapprima $6.000.000$, e poi $10.000.000$, corrispondente a sette decimali. Per inciso, questa è la prima volta in cui ci si libera dal sistema sessagesimale per i seni (non per gli angoli, che dura ancora), e si adotta definitivamente la base $10$. Un ulteriore impulso allo sviluppo della trigonometria viene dalla topografia, una disciplina che, al contrario dell'astronomia, si basa totalmente sulla trigonometria rettilinea. È per le necessità dei rilevamenti topografici che vengono studiati i triangoli e la loro risoluzione; problemi che non tardano ad esulare dalle applicazioni immediate e che diventano occasione per i matematici per dimostrare le proprie capacità e sfidare i loro emuli alla soluzione di problemi sempre più elaborati e complessi. Il primo trattato di trigonometria composto in occidente, e per molto tempo il più importante, è il De triangulis omnimodis del REGIOMONTANO, scritto attorno al 1464, ma stampato solo nel 1533. A esso fecero seguito numerosi trattati, in parte autonomi, in parte propedeutici a scritti astronomici. Tra questi ultimi è ad citare quello che NICOLÒ COPERNICO (1473-1543) inserì nella sua celebre opera De revolutionibus orbium caelestium, che vide la luce, edita da G. J. RETICO (1514-1577) lo stesso anno della sua morte. Lo stesso RETICO preparò una monumentale serie di tavole delle sei funzioni circolari, a intervalli di $10^{\prime \prime}$ e per un raggio di $10.000.000$, che vennero stampate postume nel 1596, col titolo Opus palatinum de triangulis. Tra l'altro, nell'opera del RETICO appare per la prima volta la costruzione delle tavole a partire dalla formula

\begin{displaymath}\mathop{\rm sen}\nolimits \, (n+1)\beta = 2 \mathop{\rm sen}\...
...\beta \cos \, \beta - \mathop{\rm sen}\nolimits \, (n-1)\beta .\end{displaymath}

Sarebbe difficile rintracciare i contributi numerosi e spesso appena percettibili apportati alla trigonometria nel corso del Cinquecento e del secolo successivo; né essi sono tali da apportare decisivi cambiamenti di prospettiva; varrà la pena di menzionare le formule di moltiplicazione degli angoli, dovute a F. VIÈTE (1540-1603) e pubblicate per la prima volta dal suo discepolo A. ANDERSON (1582-?):

\begin{eqnarray*}
2 \cos \, x &=& u \\
2 \cos \, 2x &=& u^{2}-2 \\
2 \cos \...
...=& u^{5}-5u^{3}+5u \\
2 \cos \, 6x &=& u^{6}-6u^{4}+9u^{2}-2
\end{eqnarray*}



in cui, a causa della relazione

\begin{displaymath}\cos \, (n+1)x= 2 \cos \, nx \cos \, x - \cos \, (n-1)x ,\end{displaymath}

ogni riga si ottiene moltiplicando per $u$ la riga precedente e sottraendo la riga ancora precedente.



Indice: breve storia della trigonometria

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