Sommari per la giornata di lavoro a Firenze su proiezioni di varietà proiettive, secanti, algebre di Jordan

• Ciro Ciliberto, Sogni sulle varietà secanti,
  in questo seminario presentero' (con qualche motivazione e giustificazione) una congettura sulla dimensione delle varieta' di spazi secanti ad una data varieta' liscia.
• Angelo Lopez, Irriducibilità dei coni secanti e applicazioni alla lineare normalità
  math.AG/0111147(joint with Z. Ran). Let $Y \subset \P^r$ be a normal nondegenerate m-dimensional subvariety and let $\sigma(Y)$ denote the maximum dimension of a subvariety $Z \subset Y_{smooth}$ such that $Z$ contains a generic point of some divisor on $Y$ and the tangent planes $T_y Y$ for all $y \in Z$ are contained in a fixed hyperplane. In this article we study the double locus $D \subset $Y$ of its generic projection to $\P^{r-1}$, proving that if the secant variety of $Y$ is the whole space and $\sigma(Y) < 2m - r + 1$, then $D$ is irreducible. Applying Zak's Tangency theorem we deduce the irreducibility of $D$ when $m > 2(r-1)/3$. The latter implies a version of Zak's Linear Normality theorem.
• Alberto Alzati, "Sistemi lineari speciali di quadriche ed applicazioni"
  Ad ogni sistema lineare di iperquadriche in P^r(C) si puo' associare un'applicazione razionale FI: P^r ---> P^(alfa) che contrae ogni retta secante al luogo base X del sistema. Intendiamo occuparci di alcune relazioni che intercorrono tra le proprieta' delle fibre di FI e le proprieta' di X, in particolare per quanto riguarda la matrice delle sizigie lineari dell'ideale di X, almeno quando alfa >=r. Tale studio si puo' applicare, ad esempio, per ottenere una caratterizzazione della varieta' con un punto doppio apparente definite da iperquadriche.
• Pierre Emmanuel Chaput SEVERI, SCORZA VARIETIES AND JORDAN ALGEBRAS
  Let X be an n-dimensional smooth projective complex variety in projective space of dimension m. The secant of X, denoted by Sec(X), is the union of all lines passing through 2 points of X. Zak's theorem tells us that if m < 3/2 n + 2 then Sec(X)=P^m. Zak also classifies the Severi varieties, defined by the conditions m = 3/2 n + 2 and Sec(X) properly included in P^m. Surprisingly enough, there are only 4 Severi varieties, one for each dimension 2,4,8 and 16. Moreover, glancing at the list of these four varieties, Zak remarks, without being able to justify it, that they are all homogeneous and that there are very strongly linked with the 4 rank-3 Jordan algebras. In this talk, I will give several variations of Zak's classification theorem, proving a priori the homogeneity of Severi varieties, and showing how it is possible to give a Jordan structure to the ambient space of a Severi variety. I will also discuss Scorza varieties, which are a natural generalisation of Severi varieties.
• Sandro Gimigliano, Rango di Tensori, varietà delle secanti e schemi 0-dimensionali.
  Il problema della stratificazione per rango degli spazi parametrizzanti tensori (equivalentemente, della dimensione delle varietà delle secanti di varietà di Segre) è visto (via Lemma di Terracini) tramite lo studio della funzione di Hilbert di schemi 0-dimensionali ("punti grassi doppi") in prodotti di spazi proiettivi. Lo stesso approccio si può adottare nel caso di particolari tensori (simmetrici, antisimmetrici, parzialmente simmetrici) ed equivale a studiare varietà delle secanti di altre varietà (Veronesiane, Grassmanniane, embeddings di Segre-Veronese).
• Massimiliano Mella "Tangential connection"
  Let X be a smooth projective variety over the complex field. Fix a general point x in X, then Tx denotes the projective tangent space X at x. That is the linear space spanned by tangent lines to X at x. Let Wx the intersection of X with Tx. I am interested in studying those X for which dim Wx>0. Examples of such varieties are: varieties covered by lines and small codimension varieties. I conjecture that these are essentially the only ones. The main technique I developed to attach the problem is the notion of Tangential Connection. In brief consider an X enjoing the above property. Then the irreducible reduced components of the scheme Wx give rise to special families of cycles in Hilb(X). Using one of these families one can construct an algebraic relation, and an algebraic quotient out of it. Unfortunately the quotient is only defined on a dense subset of X. But still allows to study its embedded geometry. In particular one can reduce the study of those varieties to that of Tangentially connected varieties (TC). That is varieties for which the above quotient is a point. The classification of TC surfaces is straigthforward while the 3-fold case is already very interesting and quite intricate.
• Vassil Kanev, "Multisecant varieties of Veronese varieties".
• Francesco Russo, Varietaà con un punto doppio apparente e loro generalizzazioni; Degenerazione di proiezioni: proiezione dal tangente e applicazioni
  Descivendo le proprieta' geometriche intrinseche e estrinseche delle varieta' con un punto doppio apparente (e delle varieta' con un unico (k-1)-spazio (k+1)-secante apparente), discutero' alcuni risultati di classificazione in dimensione bassa e successivamente il "teorema" di Bronowski. Studiando la proiezione da spazi tangenti forniro' qualche applicazione suggerita dal metodo della degenerazione delle proiezioni, discutendo esempi e alcuni problemi aperti.
• Luca Chiantini, Grassmann difettività
  Una variet\'a X \'e Grassmann-difettiva se gli h-spazi contenuti nei suoi k-spazi (k+1)-secanti danno un chiuso della Grassmanniana di dimensione minore di quanto atteso. Queste variet\'a sono collegate a problemi "di Waring" per la decomposizione di tensori e allo studio delle molteplicit\'a che compaiono in proiezioni generiche di X. Nell'intervento vengono presentati i principali metodi per lo studio di variet\'a Grassmann-difettive e vari risultati recenti sulla loro classificazione: non vi sono curve grassmann-difettive, le uniche superfici (1,2)-difettive sono scroll quartici in P^5, molti risultati parziali sono noti sulla Grassmann-difettivit\'a delle Veronesi di P^n.