Ricordiamo la definizione di algebra tensoriale.

Sia un campo algebricamente chiuso di caratteristica diversa da 2 e siano V e W due spazi vettoriali su .

Teorema- definizione.

Esiste un unico spazio vettoriale T su ed una forma bilineare τ : V x W→ T tale che f = f* º τ, ovvero commuta il diagramma

τ : V x W

→

T

f freccia

↓f*

K

Lo spazio T così ottenuto si chiama prodotto tensoriale di V e W e si indica con V $\otimes$ W .

Gli elementi di V $\otimes$ W si chiamano tensori e si indicano con v $\otimes$ w.

Osservazione 1.

Se (v 1 , ... , v n) è una base di V e (w 1 , ... , w n) è una base di W , allora {τ (v i , w j)} è una base per T e quindi dim(T) = dim(V) · dim(W) .

Osservazione 2.

Vale l'isomorfismo

V $\otimes$ W $\simeq$ {spazio delle forme bilineari su V $\otimes$ W }.

Considerando il prodotto di uno spazio vettoriale V per se stesso, si ha $\otimes$ k V = V $\otimes$ . . . V $\otimes$ (k volte) e vale

$\otimes$ k V * $\simeq$ {spazio delle forme k-lineari su V k }.

Definizione.

L'algebra tensoriale su V è lo spazio vettoriale

T(V) =

∞
$\oplus$
k=1

$\otimes$ k V

Gli elementi di T(V) hanno la forma

∑l ∑i1 , ... ,il ∈ { 1 , ... , n } ai1,...,il vi1 $\otimes$ . . . vil ,

dove (v 1 , ... , v n ) è una base di V , la somma su l è finita ed i coefficienti ai1 , ... , il stanno in K.

Osservazione 3.

L'algebra tensoriale è di dimensione finita ed è graduata.