Innanzitutto dimostriamo il

Lemma 1.

Sia A una matrice di Hankel di ordine 3:

Allora

A ha rango 1 ⇔ per i, j=1, ...,3 vale a_i,j = v_i v_j , dove v₁ , v₂ e v₃ sono degli scalari tali che v₁ v₃ - v₂² = 0.

Dimostrazione.

Proviamo la direzione ⇒ .
Poiché rk(A) = 1, (a_1,2 , a_1,3 , a_2,3 ) = λ (a_1,1 , a_1,2 , a_1,3 ) e (a_1,3 , a_2,3 , a_3,3 ) = μ (a_1,1 , a_1,2 , a_1,3 )
per degli interi λ e μ .
Poniamo λ = √x ₂/√x ₁ e μ = √x ₃ / √x ₁ .
Si trova che a_1,1 = v₁², a_1,2 = v₁v₂, a_1,3 = v₁v₃ = v₂² = a_2,2, a_2,3 = v₂v₃ e a_3,3 = v₃², dove v₁ = √x ₁, v₂ = √x ₂ e v₃ = √x ₃ .

Ora dimostriamo l'altra direzione.
Assumiamo che a_1,1 = v₁², a_1,2 = v₁v₂, a_1,3 = v₁v₃, a_2,2 = v₂², a_2,3 = v₂v₃ e a_3,3 = v₃² .
Poniamo λ=v₂/v₁ e μ=v₃/v₁ .
Si trova che (a_1,2, a_2,2, a_2,3 ) = λ (a_1,1, a_1,2, a_1,3 ) e che (a_1,3 , a_2,3 , a_3,3 ) = μ (a_1,1 , a_1,2 , a_1,3 ) ,
cioè che la seconda e la terza riga di A sono linearmente dipendenti dalla prima e quindi rk(<ìcite>A)=1.

Grazie a questo lemma, per dimostrare la

Osservazione 1.

A ha rango 1 ⇔ f è una potenza quarta.

Basta dimostrare questo

Lemma 2.

Sia f (x,y)= a_1,1x ⁴+ 4 a_1,2x ³y+6 a_1,3 x ²y ²+ 4 a_2,3x y ³+a_3,3y ⁴ .
Allora per i, j=1, ...,3

vale a_i,j = v_i v_j , dove v₁, v₂ e v₃ sono tali che v₁ v₃ - v₂² = 0 ⇔ f = L⁴ dove L è una forma lineare.

Dimostrazione.

Proviamo la direzione ⇒ .
A si può scrivere così:

v1 0   0 v2 0 0 v3 0 0

·

v1 v2 v3 0 0 0 0 0 0

Allora f (x , y) = ( v₁ x ² + 2 v₂ x y + v₃ y ² ) ² = (√v₁ x + √v₃ y ) ⁴ , visto che v₁v₃ = v₂² , e quindi f è la quarta potenza di una forma lineare.

L'altra direzione si dimostra con un procedimento analogo.