Innanzitutto dimostriamo il

Lemma 1.

Sia A una matrice di Hankel di ordine 3:

A = $parentesi$

a1,1

a1,2

a1,3

a1,2

a1,3

a2,3

a1,3

a2,3

a3,3

$parentesi$ .

Allora

A ha rango 1 per i, j=1, ...,3 vale ai,j = vi vj , dove v1 , v2 e v3 sono degli scalari tali che v1 v3 - v22 = 0.

Dimostrazione.

Proviamo la direzione .
Poiché rk(A) = 1, (a1,2 , a1,3 , a2,3 ) = λ (a1,1 , a1,2 , a1,3 ) e (a1,3 , a2,3 , a3,3 ) = μ (a1,1 , a1,2 , a1,3 )
per degli interi λ e μ .
Poniamo λ = √x 2/√x 1 e μ = √x 3 / √x 1 .
Si trova che a1,1 = v12, a1,2 = v1v2, a1,3 = v1v3 = v22 = a2,2, a2,3 = v2v3 e a3,3 = v32, dove v1 = √x 1, v2 = √x 2 e v3 = √x 3 .

Ora dimostriamo l'altra direzione.
Assumiamo che a1,1 = v12, a1,2 = v1v2, a1,3 = v1v3, a2,2 = v22, a2,3 = v2v3 e a3,3 = v32 .
Poniamo λ=v2/v1 e μ=v3/v1 .
Si trova che (a1,2, a2,2, a2,3 ) = λ (a1,1, a1,2, a1,3 ) e che (a1,3 , a2,3 , a3,3 ) = μ (a1,1 , a1,2 , a1,3 ) ,
cioè che la seconda e la terza riga di A sono linearmente dipendenti dalla prima e quindi rk(<ýcite>A)=1.

Grazie a questo lemma, per dimostrare la

Osservazione 1.

A ha rango 1 f è una potenza quarta.

Basta dimostrare questo

Lemma 2.

Sia f (x,y)= a1,1x 4+ 4 a1,2x 3y+6 a1,3 x 2y 2+ 4 a2,3x y 3+a3,3y 4 .
Allora per i, j=1, ...,3

vale ai,j = vi vj , dove v1, v2 e v3 sono tali che v1 v3 - v22 = 0 f = L4 dove L è una forma lineare.

Dimostrazione.

Proviamo la direzione .
A si può scrivere così:
$parentesi$

v1

0  

0

v2

0

0

v3

0

0

$parentesi$

·

$parentesi$

v1

v2

v3

0

0

0

0

0

0

$parentesi$

Allora f (x , y) = ( v1 x 2 + 2 v2 x y + v3 y 2 ) 2 = (√v1 x + √v3 y ) 4 , visto che v1v3 = v22 , e quindi f è la quarta potenza di una forma lineare.

L'altra direzione si dimostra con un procedimento analogo.