Sia G = G(k,n) la Grassmanniana che vogliamo studiare.

Prendiamo un punto P = v0∧. . . vk∧ ∈G.
Indichiamo con A la matrice di ordine (k+1)x(n+1)

$parentesi$

− v0−

.

.

.

− vk−

$parentesi$.

Allora

Lemma.

TPG è il proiettivizzato di

V∧v1∧. . . ∧vk + v0∧V∧v2∧ . . ∧vk + . . . + v0∧ . . . ∧vk∧V = T0 + . . . + Tk.

Questo lemma segue dalla regola di Leibniz.

Indichiamo con Ai,j la matrice uguale ad A tranne che per la i-esima riga, che coincide con la j-esima riga della matrice identica (n+1)x(n+1):

Ai,1 =

$parentesi$

v0

 .

 .

 .

vi-1

 1 

0

. . .

 0 

vi+1

 .

 .

 .

vk
$parentesi$
,  .  .  .  , 

 Ai,n+1 =

$parentesi$

v0

 .

 .

 .

vi-1

 0 

. . .

 0 

 1 

vi+1

 .

 .

 .

vk
$parentesi$ .

Ogni Ti si può parametrizzare con una matrice Mi di ordine (n+1)xN

Mi= $parentesi$

m1

.

.

mN

$parentesi$,

dove la riga mj contiene i minori massimali di Ai,j.

Quindi per conoscere TPG basterà studiare le matrici M0, . . . , Mk.