Varietà toriche

Introduzione

Il corso di lettura si basa sul lavoro

[Cox] D. Cox,

Recent developments in toric geometry, reperibile su math.AG÷9606016
Il lavoro contiene una vastissima bibliografia e presenta molti spunti per approfondimenti.

Come bibliografia minima si deve aggiungere:

[F] W. Fulton,

Introduction to toric varieties, Ann. of Math. Studies 131, Princeton 1993
Introduzione molto ben fatta con numerosi esempi.

[O] T. Oda,

Convex bodies and algebraic geometry, Springer 1988
Il trattato più completo esistente, su qualche parte è datato.

[St] B. Sturmfels,

Grobner bases and convex polytopes, AMS 1996, cap. 2,4,12,13

[GKZ] I.M. Gelfand, M. Kapranov, A.V. Zelevinsky,

Discriminants, resultants and multidimensional determinants, Birkhäuser 1994, cap. 5,6,7,8

Spunti per approfondimenti:

Esempi notevoli.

Una varietà torica completa con Pic=0. Una varietà torica nonsingolare completa non proiettiva. [F] pagg. 24,25, 71. Si tratta di esercizi molto utili per impratichirsi della teoria.

Cono di Kähler e cono di Mori [Cox] sez. 3.

Il cono di Mori di una varietà torica simpliciale è poliedrale. Il programma di Mori per le varietà toriche è esposto in [Reid] Decomposition of toric morphisms, Progress in Math. 39, Birkhäuser, 1983 ed in altri lavori di M. Reid. Si ha un ottimo modello per capire la teoria più generale.

Geometria simplettica.

Relazione con la riduzione simplettica e la moment map [Cox] sez. 4, [F] sez. 4.1, 4.2 Il celebre teorema di Atiyah sulla convessità della moment map trova qui un modello molto significativo.

Ideali torici,

Varietà toriche non normali,

[Cox] sez. 5, [St], [GKZ]

Coomologia di ipersuperfici e intersezioni complete,

[Cox] sez. 6 teoremi tipo Lefschetz e calcolo della coomologia primitiva intermedia, i risultati sono dovuti a Batyrev, Cox ed altri. Sarebbe opportuno sviluppare qualche esempio.

Fan e politopi secondari, risultante, Gröbner fan,

[Cox] sez. 7,9 [St], [GKZ] Ci sono relazioni tra aree diverse, in particolare con le funzioni ipergeometriche.

Polinomi di Poincaré virtuali e calcolo dei numeri di Betti,

[F] sez. 4.5 I numeri di Betti di una varietà torica si calcolano con una formula semplicissima che sfrutta la decomposizione in orbite mediante i polinomi di Poincarè virtuali, introdotti nell'ambito delle strutture di Hodge miste.

Anello di coomologia, classi di Chern e Riemann-Roch,

[F] sez. 5.1, 5.2, 5.3 Per varietà toriche nonsingolari l'anello di coomologia coincide con l'anello di Chow ed è generato dalle classi dei divisori. Le relazioni si scrivono esplicitamente (ideale di Stanley-Reisner)

Politopi riflessivi e lavori di Batyrev sulla mirror simmetry

[Cox] sez. 8, 10, [Voisin], Symétrie miroir, SMF 1996 Il calcolo dei numeri di Hodge per le ipersuperfici anticanoniche di una varietà torica proiettiva di Fano e della sua duale ottenuta con il politopo polare presentano delle simmetrie sorprendenti. La fisica teorica dà una spiegazione riguardo i moduli delle varietà di Calabi-Yau.

Esercizi introduttivi

1. Scrivere i fan di ${\bf C}^n$, ${\bf C}^n$ scoppiato in un punto.
2. Provare che una varietà torica liscia compatta di dimensione $n$ il cui fan contiene $n+1$ coni di dimensione $n$ è ${\bf P}^n$ .
3. Provare che una varietà torica compatta di dimensione $n$ il cui fan contiene $n+1$ coni di dimensione $n$ è simpliciale. * Si tratta sempre di uno spazio proiettivo pesato?
4. Calcolare le orbite dell'azione del toro e la loro chiusura per ${\bf P}^n$, lo scoppiamento di ${\bf P}^n$ in un punto, le superfici di Hirzebruch.
5. Calcolare le basi (toriche) degli spazi vettoriali $H^0(F_m,aC+bF)$ dove $F_m$ è una superficie di Hirzebruch e $C$, $F$ sono una base di $Pic(F_m)$. Risposta: gli elementi corrispondono a punti interni a coordinate intere di triangoli o trapezi.
6. Calcolare il politopo polare del politopo in ${\bf R}^4$ con vertici $e_1, e_2, e_3, e_4, -e_1-e_2-e_3-e_4$.