Dipartimento di Matematica "U.Dini" Università di Firenze Piano nazionale delle Lauree Scientifiche  Orientamento Matematica

Motivazioni e obiettivi:
L'argomento delle terne pitagoriche si presta come esempio molto duttile a illustrare la
matematica nel suo “farsi": osservazione di regolarità, formulazione di congetture e loro
dimostrazione, collegamenti tra vari aspetti della materia (algebra, geometria e analisi).

Risultati attesi
Si può sperare che gli studenti (almeno i più interessati) riescano a vedere l'attività
matematica come qualcosa di diverso da una sorta di “addestramento a ripetere” .

Descrizione
Introduzione all'argomento:
Un minimo di cenni storici al Teorema di Pitagora e alle terne pitagoriche (tavola Plimton)
Come costruire un angolo retto con mezzi "non matematici"
Individuazione della terna pitagorica (3,4,5) come ausilio per la costruzione di triangoli
rettangoli e ausilio al tracciamento a mano libera di una circonferenza
Impostazione del problema:
Definizione di terna pitagorica come soluzione intera dell'equazione
X^2 + Y^2 = Z^2.
Significato geometrico di queste soluzioni.
Far osservare che ogni terna genera infinite terne pitagoriche "banali" ottenute per
"similitudine"
Definizione di terna pitagorica primitiva
Domanda: quante sono le terne pitagoriche primitive?
Primo approccio “a tentoni”:
Metodo della somma dei numeri dispari: ci sono infinite terne pitagoriche primitive!
Ma non sono tutte fatte così (alcuni esempi elementari non si possono descrivere in
questo modo)
Analizzare alcune proprietà delle terne pitagoriche: parità dei numeri delle terne, altre
proprietà di divisibilità questa indagine viene fatta direttamente sulla definizione (cioè
prima della formula di rappresentazione di Euclide)
Parità delle terne e irrazionalità della radice di due (dedurre dalla parità delle lunghezze
dei cateti che il triangolo rettangolo isoscele non può stare tra le PPT, ne segue che il
rapporto tra ipotenusa e cateto è irrazionale)
Cristallizzazione delle investigazioni precedenti:
La formula di Euclide per le terne primitive
Altre proprietà delle terne deducibili dalla formula di Euclide uso della formula di Euclide
(ridotta, ovvero con m e n dispari)
(per una lista di tali proprietà si può consultare la pagina di Wikipedia dedicata alle
Pythagorean Triples)
I rapporti tra algebra e geometria:
Geometria analitica
Punti a coordinate razionali sulla circonferenza unitaria (e cosa succede se si “sposta” la
circonferenza)
Terne pitagoriche con segno: corrispondenza tra le PPT e i punti “razionali” sulla
circonferenza
Ogni retta a coefficiente angolare razionale individua una (e una sola) PPT
Legame tra formula di Euclide, trasformazione stereografica e formula per seno e coseno
in funzione della tangente dell'angolo metà.
Approfondimenti:
Densità: questo è un concetto "difficile" ma importante; se gli studenti hanno già visto una
definizione di numero reale questo serve per dare un nuovo esempio di cosa si intenda
per per "continuità" di una curva (esiste un "dentro" e un "fuori" la circonferenza).
La costruzione delle terne a partire dalla “radice” (3,4,5):
Albero ternario delle terne pitagoriche. Uso delle matrici (elementare).
Cammini interessanti sull'albero: approssimazione della radice di 2
(triangoli pitagorici -> triangolo rett. isoscele)
della radice di tre ((triangoli pitagorici -> metà del triangolo equilatero)
Successioni di Fibonacci, etc.
L'investigazione dell'albero si presta a essere fatta con un foglio elettronico (anche se le
dimensioni dei lati crescono molto velocemente)

Studenti coinvolti
In linea di principio tutte le classi dell'insegnamento secondario: i contenuti possono essere modulati in modo da tener conto dei differenti prerequisiti degli studenti.

Laboratori in corso:

Liceo Scientifico C. Livi, Prato (prof. Roberta Colzi, prof. Laura Pini, prof. Roberta Risaliti)
Liceo Scientifico Copernico, Prato (prof. Silvia Casini)

Materiale per il Laboratorio

Contatti	Riccardo Ricci	e-mail: riccardo.ricci@math.unifi.it
	Valentina Boccini	e-mail: valentina.boccini@gmail.it