Modalitá di apprendimento
per accumulo di informazioni: allargamento di conoscenze, abilità, strategie di
pensiero, come somma di nuove acquisizioni che non mettono in dubbio quelle
precedenti
per dissonanza cognitiva: le nuove informazioni acquisite costringono il
soggetto a rivedere le informazioni già possedute. Si ha quindi una
ristrutturazione del sistema di concetti, abilità o strategie che l'allievo già
possiede. Il nuovo sapere non si somma al precedente ma
lo integra e lo rimette in discussione.
Perché usare la storia in classe?
·
Si fa vedere che
la matematica ha una storia
·
Si vedono i
legami con le altre discipline (multidisciplinarità)
·
Si avvicina
l’alunno all’esperienza matematica (utilità per l’alunno)
·
Per capire come
si sono sviluppate le idee,
la storia come lente per studiare le difficoltà (utilità per
l’insegnante)
Manuale ben curato: C. Boyer,
Storia della matematica, Mondatori
Pagina con applicazioni:
F. Ghione, Le equazioni
lineari
http://axp.mat.uniroma2.it/LMM/BCD/SSIS/Linear/Indice.html
Esempi:
·
comprensione di grandi e piccoli numeri
·
il metodo della falsa posizione nelle equazioni di primo
grado
·
l’equazione della retta nel piano
Per comprendere meglio le distanze
precedenti è utile pensare ad un modello in scala.
E’ evidente come il modello
in scala rende l’idea delle dimensioni molto più dei numeri
in notazione decimale o esponenziale. In modo analogo vogliamo analizzare il
seguente problema classico
Il problema dei chicchi di grano
(si può vedere il commento di E. Giusti, Matematica e
commercio nel Liber Abaci)
L’inventore del gioco degli scacchi chiese al principe
come ricompensa:
1 chicco di grano per la prima casella, 2 per la
seconda, 4 per la terza, 8 per la quarta, e così via, sempre raddoppiando.
Quanti sono i chicchi di grano?
La risposta è 264-1, non è sufficiente il grano di tutta
Soluzione rapida di Fibonacci:
nella prima riga stanno
1+2+4+8+16+32+64+128=255=28-1,
che è di uno minore del numero successivo 256.
Se moltiplico 256 per se
stesso, ottengo 65.536=216, che supera di uno la
somma dei numeri delle prime due righe (infatti nella seconda riga stanno
256(1+2+…+128)=256x255 chicchi).
Moltiplico 65.536 per se
stesso e trovo 4.294.967.296 =232, che supera di uno
la somma dei numeri delle prime quattro righe. Infine l’ultimo numero
per se stesso dà
264 =
18.446.744.073.709.551.616 = 1,8 × 1019 chicchi
Fibonacci, per dare al lettore un’idea dell’enormità del
numero, introduce delle unità di misura crescenti.
Sostituisce delle monete
d’oro ai chicchi di grano, per fare maggiore impressione.
65.536 monete = 1 cassa (prime
due righe)
65.536 casse = 1 casa (prime
quattro righe)
65.536 case = 1 città (prime
sei righe)
65.536 città piene di monete
d’oro = totale della scacchiera!
Il
metodo della falsa posizione
Le equazioni di primo grado erano risolte, prima
della diffusione del lavoro di al-Khwarizmi
con il metodo della falsa posizione.
Questo
problema è preso da Tartaglia, General trattato di
Numeri e Misure, Venezia 1556 un'opera molto voluminosa che contiene 204
problemi riducibili ad equazioni di primo grado:
Problema 2 Uno mercante compra 6 pezze di panni feltrini,
& 8 pezze di panni di Bologna, & pezze 12 di panni scarlatini
per ducati 2520. Li panni di Bologna gli costano la
pezza tre volte tanto di quello che gli costó la
pezza di panni feltrini, & e la pezza di panni scarlatini gli costarono un tanto e mezzo di quello che gli
costó la pezza di panni di Bologna. Si dimanda quanto gli costó la pezza di panni feltrini
& e di ciascuna delle altre due sorte. Pone che la pezza di panni feltrini costa quello che ti pare: 24 ducati ...
Tartaglia propone di risolvere il problema usando il metodo della falsa posizione
Se la pezza di panni feltrino costa 24 ducati (falsa posizione), allora i panni
di Bologna costano 24*3 = 72 ducati ogni pezza e i panni scarlatini
costano 72*1,5 = 108 ducati la pezza. La spesa sarebbe 24*6+72*8+12*108 = 2016
ducati. Adesso dobbiamo modificare la falsa posizione iniziale nella
proporzione corretta per ottenere il risultato aspettato, che è 2520 ducati.
Quindi il costo dei panni feltrino è (24*2520):2016 = 30 ducati.
Esercizi presi da E. Castelnuovo,
Numeri
Dopo aver speso la metà, la terza e la
dodicesima parte di una certa somma, mi sono rimasti 4 euro. Trova la somma
iniziale.
Se a un numero si aggiunge
la sua metà e al risultato trovato si aggiunge la metà del risultato stesso si
ottiene 54. Determina il numero.
Un bastone è infisso nel suolo per 3/11 della
sua lunghezza ed emerge per
Attenzione a problemi come i seguenti:
Le lunghezze dei lati di un triangolo sono
tre numeri consecutivi. Determina la lunghezza dei lati sapendo che il
perimetro è
Soluzione con il metodi
della doppia falsa posizione: Se il
primo lato è
Spiegazione
La falsa posizione risolve equazioni del tipo
ax=c
La doppia falsa posizione risolve equazioni
del tipo
ax+b=c
Dalle due premesse
ax1+b = c1
ax2+b = c2
si ricava a(x2 - x1 ) = c2
- c1
e si calcola x - x1 con il metodo della
falsa posizione.