Gli elementi di Euclide

Riflessioni e spunti didattici

Giorgio Ottaviani

Obiettivi:

• conoscere il contenuto degli Elementi di Euclide (geometria, aritmetica, algebra, analisi?)
• conoscere l'influenza storica degli Elementi di Euclide sulla didattica (c'è una tendenza alla conservazione, si risente della tradizione)
• capire come possono essere inquadrati oggi nell'insegnamento della geometria

Contenuti

• Alcuni risultati significativi dai 13 Libri degli Elementi di Euclide
• Alcuni esempi dell'influenza degli Elementi di Euclide nell'insegnamento della Geometria
• Qualche osservazione conclusiva sui programmi di Geometria

Gli Elementi di Euclide sono scritti intorno al 300 a.C. Euclide è attivo intorno alla biblioteca di Alessandria. Non si sa quasi niente sulla storia personale di Euclide, ma il suo testo è rimasto come una sorta di enciclopedia matematica per più di due millenni, al centro della cultura, sia occidentale che araba. Viene spontaneo il paragone con la figura di Omero.

Euclide è preceduto dagli Elementi di Ippocrate di Chio (circa 450 a.C.) dove si effettuano dimostrazioni


Nella matematica greca abbiamo le seguenti figure di spicco

• Talete 600 a.C.
• Pitagora 500 a.C.
• Euclide 300 a.C.
• Archimede e Apollonio 250 a.C.

Archimede fonde la teoria con le applicazioni, calcola i decimali di p
La teoria di Euclide è costruttiva, gli strumenti di lavoro sono la riga e il compasso



Elementi di Euclide su Internet
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html

Indice degli Elementi
1. Libri I-II-III-IV Geometria del piano
2. Libro V Proporzioni
3. Libro VI Similitudine nel piano
4. Libri VII-VIII-IX (libri aritmetici) Teoria dei numeri interi e razionali
5. Libro X (irrazionali)
6. Libri XI-XII-XII Geometria dello spazio

Libro I

• Definizioni
• Postulati, il quinto postulato (delle parallele), è una soluzione a delle critiche poste da Aristotele
• Nozioni comuni o assiomi

Uguaglianza dei triangoli, teoria delle parallele, equivalenza dei poligoni

• prop. 1 costruzione del triangolo equilatero
• prop. 2 trasporto del segmento
• prop. 4 criterio di congruenza lato-angolo-lato
• prop. 5 (pons asinorum) in un triangolo isoscele gli angoli alla base sono uguali
• prop. 8 criterio di congruenza lato-lato-lato
• prop. 9 costruzione della bisettrice
• prop. 20 disuguaglianza triangolare
• prop. 26 criterio di congruenza angolo-lato-angolo
• prop. 32 la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a due retti
• prop. 47 teorema di Pitagora
• prop. 48 inverso del teorema di Pitagora

Libro II (algebra geometrica, "prodotti notevoli" con equivalenze tra figure piane)

• prop. 4 quadrato del binomio
• prop. 5 differenza dei quadrati
• prop. 11 divisione di un segmento secondo il rapporto aureo (sarà ripreso con la teoria delle proporzioni)
• prop. 14 quadratura del rettangolo (calcolo geometrico della radice quadrata, media geometrica)

libro III cerchio e circonferenza

• prop. 18 la tangente al cerchio è perpendicolare al raggio nel punto di tangenza (dimostrata per assurdo)
• prop. 20 angolo al centro è doppio dell'angolo alla circonferenza (la dimostrazione è identica a quella odierna)
• prop. 21 gli angoli alla circonferenza sono tutti uguali
• prop. 22 in un quadrilatero inscritto la somma degli angoli opposti è un angolo piatto
• prop. 31 (Talete) l'angolo che insiste su un diametro è retto
• prop. 35 teorema delle corde
• prop. 36 Teorema della secante e della tengente
• prop. 37 inverso del precedente

libro IV problemi di costruzione sui poligoni regolari

• prop. 4 incentro del triangolo (centro del cerchio inscritto)
• prop. 5 circoncentro del triangolo (centro del cerchio circoscritto)
• prop. 6 quadrato inscritto a un cerchio
• prop. 10 triangolo con angoli 36, 72, 72
• prop. 11 pentagono inscritto
• prop. 15 esagono inscritto

libro V

non usa niente dei libri I, II, III, IV
il libro "ostile", criticato da Galileo perché lontano dall'intuizione
Oggi la divisione tra matematica elementare e matematica superiore si effettua al livello dell'analisi infinitesimale. Questa stessa divisione due millenni fa si effettuava al livello delle proporzioni.

teoria delle proporzioni (tradizionalmente attribuita ad Eudosso)

Contiene la teoria classica delle proporzioni (attualmente insegnata alla media di primo grado) Contiene anche la soluzione al problema della misura delle grandezze incommensurabili.



Definizione A:B=C:D vuol dire, per ogni n,m

• mA>nB se e solo se mC>nD
• mA=nB se e solo se mC=nD
• mA<nB se e solo se mC<nD

Il caso dell'uguaglianza puo' presentarsi solo se le grandezze A, B sono commensurabili.

Questa soluzione geniale anticipa la costruzione dei numeri reali con le sezioni di Dedekind (metà '800).

Non ci sarà nessun'altra costruzione rigorosa prima di Dedekind . Anche Cartesio compie operazioni tra segmenti, non tra numeri.

• prop. 16, in una proporzione si possono permutare i medi
• prop. 17 proprietà dello scomporre
• prop. 18 proprietà del scomporre

libro VI applicazioni delle proporzioni alla geometria piana: teoria della similitudine

Osservazione importante: oggi si può introdurre la similitudine su basi algebriche, cioè ammettere il fatto che ogni segmento abbia una misura come numero reale, e poi scrivere A:B=C:D se e solo se AxD=BxC. Le proporzioni per via algebrica sono svolte alla media di primo grado. Quindi è possibile anticipare l'uso delle similitudini in geometria.


Nel libro VI sono esposti i criteri di similitudine

• prop. 8, contiene i "due teoremi di Euclide"! Solo nel libro X si fa cenno a come da questi segua il teorema di Pitagora.
• prop. 28: in termini moderni è la soluzione dell'equazione di secondo grado, viene data come condizione di risolubilità che il discriminante sia non negativo.
  
  
  
  

Libri aritmetici (VII, VIII, IX), teoria dei numeri interi e razionali

• libro VII, prop. 2, algoritmo euclideo (Antenaresis)per il calcolo del MCD, con le sottrazioni successive (o divisioni successive)
• libro VII, prop. 20, frazione ridotta ai minimi termini
• libro VII, prop. 30 e 31 teorema fondamentale dell'aritmetica (scomposizione in fattori primi)
• libro VII, prop. 34, minimo comune multiplo

• libro VIII, progressioni geometriche, numeri quadrati e cubi

• libro IX, prime proposizioni: prime proprietà delle potenze, ma soltanto con esponente 2 o 3
• libro IX, prop. 20, i numeri primi sono infiniti
• libro IX, prop. 21, 22 tabella additiva tra pari e dispari (aritmetica modulo due, rievocazione dell'aritmetica pitagorica del pari e del dispari)
• libro IX, prop. 35, somma di una progressione geometrica
• libro IX, prop. 36, numeri perfetti

libro X

il libro lunghissimo (115 proposizioni!) e terribile, "difficilior" secondo Fibonacci
rette irrazionali (teoria dei radicali), radicali quadratici doppi
la prop. 2 implica facilmente la non commensurabilità tra lato e diagonale del quadrato (cioè l'irrazionalità di radice di due)

libro XI geometria solida

punti, rette e piani nello spazio, teoria di parallelismo e perpendicolarità
È strana la definizione si sfera come rotazione di un semicerchio attorno a un diametro.

libro XII

aree e volumi per piramidi, cilindri, coni, sfere

• prop. 7, volume della piramide: area di base per altezza diviso tre.
• prop. 10, stessa cosa per i coni, dimostrazione usando la prop. 7 e il metodo di esaustione

libro XIII

• i 5 solidi platonici
• ne esistono solo cinque

il modello copernicano, si basava su scelte quasi religiose su come incastrate i solidi platonici.

Cosa non c'e' negli Elementi di Euclide:

• il baricentro
  
  
• i numeri negativi
  
  
• lo zero
  
  
• il volume della sfera
  
  
• la formula di Eulero per i poliedri
  
  

La matematica greca ha il suo culmine con Archimede, riprende con Pappo, e ha poi comincia un lunghissimo declino.
Nel Medioevo in Occidente si perde la comprensione della scienza ellenistica e di gran parte della geometria euclidea.
Lo scettro viene raccolto dalla matematica araba, cui si devono interessanti tentativi di dimostrazione del postulato delle parallele. Ma la matematica araba ha il suo punto forte nell'algebra.
Ai primi del '200 viene pubblicato il Liber Abaci, che introduce in Occidente le cifre arabe e le operazioni con il nuovo sistema di numerazione. In particolare viene introdotto lo zero.


Campano da Novara (morto 1296), scrive una edizione commentata degli Elementi, che traduce dall'arabo in latino. Pare che avesse equivocato diversi punti nel libro V sulla teoria delle proporzioni

Da Dante, Convivio, tratt. 2,13

Sì come adunque di sopra è narrato, li sette cieli primi a noi sono quelli delli pianeti, poi sono due cieli sopra questi, mobili e uno sopra tutti, ma quieto. Alli sette primi rispondono le sette scienze del Trivio e del Quadrivio, cioè Grammatica, Dialettica, Retorica, Aritmetica, Musica, Geometria e Astrologia.

1. cielo della Luna = Grammatica
2. cielo di Mercurio = Dialettica
3. cielo di Venere = Retorica
4. cielo del Sole = Aritmetica
5. cielo di Marte = Musica
6. cielo di Giove = Geometria
7. cielo di Saturno = Astrologia

E lo cielo di Giove si può comparare alla Geometria per due propietadi: l'una si è che muove tra due cieli repugnanti alla sua buona temperanza, sì come quello di Marte e quello di Saturno; onde Tolomeo dice, nello allegato libro, che Giove è stella di temperata complessione in mezzo della freddura di Saturno e dello calore di Marte. L'altra sì è che intra tutte le stelle bianca si mostra, quasi argentata. E queste due cose sono nella Scienza della Geometria. La Geometria si muove intra due repugnanti ad essa, sì come tra il punto e lo cerchio - e dico 'cerchio' largamente ogni ritondo, o corpo o superficie -; che sì, come dice Euclide, lo punto è principio di quella; e secondo che dice, lo cerchio è perfettissima figura in quella, che conviene però avere ragione di fine. Sì che tra 'l punto e lo cerchio sì come tra principio e fine si muove la Geometria, e questi due alla sua certezza repugnano: che lo punto per la sua indivisibilitade è immensurabile, e lo cerchio per lo suo arco è impossibile a quadrare perfettamente, e però è impossibile a misurare a punto. E ancora: la Geometria è bianchissima, in quanto è senza macula d'errore e certissima per sé e per la sua ancella, che si chiama Prospettiva.

1482 prima edizione a stampa degli Elementi di Euclide

Da allora si contano più di mille edizioni a stampa. Nel '700 c'era già un'edizione in cinese.

Galileo, Discorsi intorno a due nuove scienze, Giornata Quarta

• Simplicio: Voi procedete nelle vostre dimostrazioni troppo alla grande, ed andate sempre, per quanto mi pare, supponendo che tutte le proposizioni di Euclide mi siano così familiari e pronte, come gli stessi primi assiomi, il che non è.....
• Salviati: Veramente tutti i matematici non vulgari suppongono che il lettore abbia prontissimi almeno gli Elementi di Euclide.....

I. Newton, 1707

Quindi queste due scienze, l'aritmetica e la geometria, non dovrebbero essere confuse. Gli Antichi le tenevano distinte con tanta attenzione da non introdurre mai termini aritmetici in geometria. Mentre i Moderni, confondendo l'una con l'altra, hanno perso la semplicità in cui consiste tutta l'eleganza della geometria.



Sec. XVIII Clairaut, Legendre, prime alternative all'insegnamento di Euclide

Kant nella Critica della Ragion Pura

il giudizio è un rapporto tra due termini (soggetto e predicato) e può essere

• giudizio analitico, ossia esplicativo quando nel predicato è detto qualcosa che è già implicito nel soggetto
• giudizio sintetico, ossia estensivo della conoscenza in quanto il predicato aggiunge qualcosa non compreso nel soggetto
  
  La matematica dà molti esempi di giudizi sintetici a priori. Kant fa l'esempio 7+5=12 Poi si spinge oltre e propone l'esempio della geometria euclidea, dotata di caratteri di universalità e necessità.
  Lo spazio " è una rappresentazione necessaria a priori la quale sta a fondamento di tutte le intuizioni esterne".
  
  

  XIX secolo: in Francia si comincia a studiare geometria analitica sui testi di Lagrange

  Unità d'Italia, Cremona sostiene il ritorno a Euclide perché più formativo

  
  
  
  
  

  Todhunter, edizione inglese del 1882

  
  "In England the textbook of Geometry consists of the Elements of Euclid."
  
  
  

  Da Bertrand Russell, Autobiografia I- Infanzia

  A undici anni cominciai a studiare la geometria, sotto la guida di mio fratello. Fu uno dei grandi avvenimenti della mia vita, inebriante come il primo amore. Non avrei mai immaginato che al mondo ci fosse una cosa così splendida. Quando ebbi appreso il quinto teorema, mio fratello disse che in genere lo si considerava difficile, ma io non vi avevo riscontrato alcuna difficoltà. E quella fu la prima volta che cominciai a pensare di possedere un minimo di intelligenza. Da quel momento fino a quando Whitehead e io terminammo Principia Mathematica, e avevo trentotto anni, la matematica costituì il mio interesse dominante e la mia principale fonte di felicità.
  
  Ma come tutte le felicità non era perfetta. Mi era stato detto che Euclide dimostrava le cose, e fui molto deluso dal fatto che iniziasse con dei postulati. Dapprima rifiutati di accettarli, a meno che mio fratello non me ne offrisse un valido motivo, ma lui dichiarò: - Se non li accetti non possiamo andare avanti - e siccome desideravo proseguire, pur riluttante li accettai pro tempore. Il dubbio che provai in quel momento circa le premesse della matematica, rimase in me e determinò l'indirizzo della mia opera successiva. Molto più difficili mi risultarono i primi elementi dell'algebra, forse per colpa di un insegnamento sbagliato. Mi costringevano a imparare a memoria: "Il quadrato della somma di due numeri è pari alla somma dei loro quadrati aumentata due volte del loro prodotto". Non avevo la più vaga idea di che cosa volesse dire, e quando non riuscivo a ricordare le parole il mio istitutore mi tirava il libro in testa, cosa che non stimolava minimamente le mie capacità intellettuali.

  Da Einstein, Autobiografia scientifica

  All'età di dodici anni provai una nuova meraviglia di natura completamente diversa; e fu leggendo un libretto sulla geometria piana euclidea, capitatomi tra le mani al principio dell'anno scolastico. C'erano delle asserzioni, ad esempio quella che le tre altezze di un triangolo si intersecano in un sol punto, che - pur non essendo affatto evidenti - potevano tuttavia essere dimostrate con tanta certezza da eliminare qualsiasi dubbio. Questa lucidità e certezza mi fecero un'indescrivibile impressione. Il fatto che l'assioma dovesse essere accettato senza dimostrazione non mi dava fastidio.
  
  Per me era sufficiente, in ogni caso, poter basare le dimostrazioni su proposizioni la cui validità non mi sembrava dubbia. Ricordo, ad esempio, che uno zio mi espose il teorema di Pitagora prima che il sacro libretto di geometria mi fosse capitato tra le mani. Con molta fatica riuscii a "dimostrare" il teorema servendomi della similitudine dei triangoli; e così facendo, mi sembrò "evidente" che il rapporto fra i lati dei triangoli rettangoli dovesse essere determinato da un solo angolo acuto. Mi sembrava che ci fosse bisogno di qualche dimostrazione solo per cose che non apparissero altrettanto "evidenti". Inoltre, mi sembrava che le cose di cui tratta la geometria non fossero essenzialmente diverse da quelle che si percepiscono coi sensi, "che si possono vedere e toccare". Quest'idea rudimentale, probabilmente la stessa che sta alla base della ben nota problematica kantiana sulla possibilità dei giudizi sintetici a priori, si fonda ovviamente sul fatto che il rapporto esistente fra i concetti geometrici e gli oggetti dell'esperienza sensibile (asta rigida, intervallo finito ecc.) mi era inconsciamente presente.
  
  
  
  
  
  

  L' edizione degli Elementi curata da Enriques, stampata tra il 1924 e il 1935, ha larga diffusione nella scuola italiana.

  
  
  
  
  
  
  

  Dieudonné : abbasso Euclide! (anni '60)

  
  
  
  
  

  Obiettivi odierni per l'insegnamento della geometria

  (secondo il rapporto APMEP 2000 francese)
  • formazione dei cittadini
    • visione dello spazio
    • apprendimento del ragionamento
    • aspetti estetici e culturali della geometria
    • geometria nella vita quotidiana
  • formazione di tecnici e ingegneri
    • resistenza dei materiali
    • ricostruzione di immagini, visione 3D, CAGD
  • formazione di scienziati e ricercatori
    • geometria in fisica
    • geometria in matematica.........

  Programma Brocca, biennio, 1990

  Lo studio della geometria nel biennio ha la finalità principale di condurre progressivamente lo studente dalla intuizione e scoperta di proprietà geometriche alla loro descrizione razionale e rappresenta come tale una guida privilegiata alla consapevolezza argomentativa. A ciò il docente può pervenire adottando un metodo, facendo leva sulle conoscenze intuitive apprese dallo studente nella scuola media, proceda allo sviluppo razionale di limitate catene di deduzioni; è tuttavia necessario che ogni ipotesi o ammissione cui si fa ricorso sia chiaramente riconosciuta e formulata in modo esplicito, quali che siano le ragioni che inducono ad assumerla tra i punti di partenza del ragionamento.
  Al docente compete poi l’impegno di avviare la fase euristica su processi di assiomatizzazione partendo da semplici situazioni assunte nei vari campi. Ciò nella prospettiva di familiarizzare gli studenti col metodo ipotetico-deduttivo e pervenire negli eventuali studi successivi alla costruzione di un sistema di assiomi per la geometria elementare. A tal fine è bene programmare, in un quadro di riferimento organico, una scelta delle proprietà (teoremi) delle figure piane da dimostrare, utilizzando la geometria delle trasformazioni oppure seguendo un percorso più tradizionale.
  Gli elementi di geometria dello spazio hanno lo scopo di alimentare e sviluppare l’intuizione spaziale. È in facoltà del docente presentare prima la geometria piana e poi quella dello spazio, oppure fondere, in relazione agli argomenti comuni, le due esposizioni.

  Programma Brocca, triennio, 1992

  Nel ribadire le indicazioni didattiche suggerite nel programma per il biennio, si insiste sulla opportunità che l'insegnamento sia condotto per problemi; dall'esame di una data situazione problematica l'alunno sarà portato, prima a formulare una ipotesi di soluzione, poi a ricercare il procedimento risolutivo, mediante il ricorso alle conoscenze già acquisite, ed infine ad inserire il risultato ottenuto in un organico quadro teorico complessivo; un processo in cui l'appello all'intuizione sarà via via ridotto per dare più spazio all'astrazione ed alla sistemazione razionale.
  A conclusione degli studi secondari scaturirà così naturalmente nell'alunno l'esigenza della sistemazione assiomatica dei temi affrontati, della geometria come di altri contesti, sistemazione che lo porterà a recepire un procedimento che è diventato paradigmatico in qualsiasi ricerca ed in ogni ambito disciplinare.