similitudine

Appunti sulla similitudine e dintorni

In questi appunti presentiamo alcuni risultati significativi relativi alle figure simili del piano. Si tratta di un argomento che si presta a molte presentazioni stimolanti e collegamenti inaspettati. E' senz'altro un argomento centrale nella "matematica per il cittadino" di cui si parla oggi. Nel "registro" algebrico la similitudine corrisponde semplicemente alla teoria delle proporzioni. E' grazie a questo modo di pensare che sappiamo trasferire a 5 o 6 commensali gli ingredienti di una ricetta di cucina per 4. Oppure sappiamo calcolare il consumo al litro di un automobile o un motorino dai Km percorsi tra due pieni. Nel "registro" geometrico, che è quello che qui ci interessa, la similitudine permette di capire una cartina geografica, o la disposizione delle stanze e dei mobili nella piantina di un appartamento. Si noti che abbiamo usato il singolare "similitudine", mentre il plurale "similitudini" è situato nel contesto delle trasformazioni geometriche, dove verrà trattato separatamente.

Per parlare di similitudine è importante avere già svolto alcune proprietà angolari della circonferenza. Viceversa per trattare la circonferenza dal punto di vista metrico (rettificazione della circonferenza e quadratura del cerchio) è necessario avere già considerato la similitudine e verificato che tutte le circonferenze sono simili tra di loro. Quindi la similitudine è intrecciata con lo studio della circonferenza.

Uno dei risultati principali è

Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono su un arco fissato sono uguali tra loro.

E' importante il caso degenere del teorema precedente quando il vertice dell'angolo va a coincidere con uno degli estremi dell'arco. L'angolo in questione diventa quello tra la corda e la tangente. Piú importante ancora è il viceversa del teorema precedente cioè

Il luogo dei punti che vedono un segmento sotto uno stesso angolo (in uno dei semipiani individuati dal segmento) è un arco di circonferenza.

Questo risultato è forse il punto migliore per introdurre la teoria. Se si vuole costruire un teatro "democratico" dove tutti gli spettatori vedono la scena dallo stesso angolo allora i posti a sedere vanno distribuiti su un arco di circonferenza. Molti teatri greci e romani hanno la forma di una semicirconferenza dove la scena si svolge sul diametro. L'angolo da cui si vede la scena è in questo caso un angolo retto. Si noti la differenza con i teatri ottocenteschi dove abbiamo il palco reale. Le proprietà precedenti sono a loro volta conseguenza di

Un angolo al centro è doppio rispetto ad ogni angolo alla circonferenza che sottende lo stesso arco.

Con questi prerequisiti possiamo affrontare l'argomento. Abbiamo:

Obiettivi cognitivi

Conoscere le definizioni di similitudine tra triangoli e poligoni
Conoscere il teorema di Talete
Conoscere i criteri di similitudine tra triangoli

Obiettivi operativi

Sapere applicare e risolvere le corrette proporzioni in una similitudine
Sapere riconoscere similitudini in una costruzione (geometrica o fisica) ed applicarle per la soluzione di problemi. Sapere riconoscere dove non ci sono similitudini.
Sapere sviluppare deduzioni che coinvolgono il concetto di similitudine

Una breve scheda sui risultati principali è la seguente (un testo di riferimento su questi argomenti è il Cateni-Fortini [C-F]):

Due triangoli si dicono simili se hanno gli angoli uguali (ne bastano due).
Il teorema di Talete afferma che un fascio di rette parallele stacca segmenti proporzionali su due rette trasversali al fascio.
Una delle conseguenze piú importanti del teorema di Talete è che triangoli simili hanno i lati corrispondenti proporzionali ( a volte questo risultato si trova enunciato come primo criterio di similitudine, quando si chiede una definizione piú forte di similitudine che comprende già la proporzionalità tra i lati ).
Il successivo (secondo) criterio di similitudine afferma che se due triangoli hanno un angolo uguale ed i lati che lo comprendono in proporzione allora sono simili.
L'ultimo (terzo) criterio di similitudine afferma che se due triangoli hanno i lati corrispondenti proporzionali allora sono simili.

Risultati piú profondi della teoria sono:

Teorema della bisettrice La bisettrice di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati.

Teorema delle corde Quando due corde di una circonferenza si incontrano, esse si dividono in modo che le due parti dell'una formano i medi e le due parti dell'altra gli estremi di una proporzione.

I teoremi delle secanti e della secante e della tangente sono analoghi al teorema delle corde in situazioni diverse. Infine osserviamo che i teoremi di Euclide (che possono essere stati già trattati in ambito metrico) hanno una interpretazione diretta molto semplice all'interno della similitudine.

La seguente è una proposta di lavoro, che fa entrare in molti esempi ricchi di contenuti:
Valutare la concordanza con gli obiettivi di apprendimento generali e con gli obiettivi precedenti dei seguenti problemi o proposte di esercitazione

Un rettangolo con le dimensioni di cm 6 e cm 8 rappresenta la pianta di un cortile alla scala 1/500. Calcolare il perimetro e l'area del cortile.

In un triangolo ABC si tracci una corda DE parallela al lato BC. Provare che ADE è simile ad ABC.

C'è proporzionalità tra le corde di una circonferenza e gli archi che le sottendono?

(Esercitazione) Dividere la diagonale di un quadrato di lato 3cm in tre parti uguali

Dividere un segmento di lunghezza fissata in tre parti uguali.

La somma delle basi di un trapezio misura 32cm, la loro differenza 10cm. Trova il perimetro del triangolo che ha per vertici gli estremi della base maggiore e l'intersezione dei prolungamenti dei lati obliqui, sapendo che questi sono lunghi 7cm e 11cm.

Provare che ciascuna delle diagonali di un trapezio viene divisa dall'altra in parti proporzionali alle basi.

In un trapezio rettangolo con un angolo di 45° è inscritta una circonferenza di raggio r. Calcolare il perimetro e l'area del trapezio.

Trovare il rapporto tra i perimetri e le aree del quadrato circoscritto e del quadrato inscritto in una circonferenza di raggio r.

Trovare il rapporto tra i perimetri e le aree dell'esagono regolare circoscritto e dell'esagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio r.

Dimostrare che in un triangolo il luogo dei punti medi delle corde parallele ad un lato è la mediana relativa a quel lato.

Provare che in un triangolo le altezze sono inversamente proporzionali ai lati corrispondenti.

(qui serve il teorema delle corde) Una corda AB incontra viene tagliata da una corda CD nel suo punto medio E. Sapendo che AB misura 10cm e CE misura 2 cm, calcolare la misura di CD. Congiungendo il centro del cerchio O con E si incontra la circonferenza in F. Se EF misura 1cm calcolare il raggio del cerchio.

Analisi di una costruzione classica sui triangoli, che può essere utile per sviluppare ragionamento induttivo. Tutti i punti sono ugualmente importanti? Quali aggiungere? Quali togliere? Quali assegnare come compiti per casa? Quali possono essere oggetto di una valutazione scritta? L'ordine delle domande potrebbe essere diverso?

Chiamiamo P, Q, R i tre punti medi dei lati di un triangolo ABC.

Provare che unendo tra loro P, Q, R il triangolo ABC viene diviso in 4 triangoli uguali.

Provare che PQR è simile ad ABC.

Provare che l'area di PQR è un quarto di quella di ABC.

Provare che se ABC è isoscele allora PQR è isoscele. Vale il viceversa?

Provare che se ABC è equilatero allora PQR è equilatero. Vale il viceversa?

Provare che il baricentro di PQR è uguale al baricentro di ABC.

Dato un triangolo ABC, tracciamo per ogni vertice la parallela al lato opposto.

Provare che il triangolo LMN che si ottiene è simile ad ABC.

Provare che LMN è diviso da ABC in quattro triangoli uguali.

Una conclusione sorprendente (il parallelogramma dei punti medi)

Chiamiamo P, Q, R, S i quattro punti medi (nell'ordine) dei lati di un parallelogramma ABCD. Provare che PQRS è un parallelogramma. E' simile a ABCD?

Provare che se ABCD è un rettangolo allora PQRS è un rombo. Vale il viceversa?

Provare che se ABCD è un rombo allora PQRS è un rettangolo. Vale il viceversa?

Provare che se ABCD è un quadrato allora PQRS è un quadrato.

Chiamiamo P, Q, R, S i quattro punti medi (nell'ordine) dei lati di un quadrilatero ABCD.

Provare che PQRS è un parallelogramma.

Si può disegnare un quadrilatero ABCD che non sia un parallelogramma tale che PQRS sia un quadrato?

Motivazioni ed esempi di carattere storico

I seguenti esempi sono presenti ad esempio nei manuali di Matematica di Enriques-Amaldi. Sono ripresi anche dal testo di G. Prodi "Matematica come scoperta" [Pr] e compaiono in molti altri libri.

La misura dell'altezza di una torre

Una torre proietta un'ombra lunga 22m mentre un bastone lungo 1m proietta un'ombra di 44cm. Calcolare l'altezza della torre.
Il valore didattico di questo esempio è immenso, perché mostra come un modello teorico permette di effettuare una misura pratica di un oggetto senza neanche toccare fisicamente l'oggetto stesso. Si tratta di una misura indiretta. Questo esempio apre la strada ai due successivi, ancora più sbalorditivi. Come può l'ombra di un bastone dirci quanto è grande la Terra ?

La prima misura del raggio terrestre

Nella città di Assuan (l'antica Siene), il 22 Giugno (solstizio d'estate) il sole a mezzogiorno si trova esattamente allo zenit, cioè un bastone verticale non lascia ombra. Eratostene (276-195 a.C) nella sua opera “Sulla misurazione della Terra” partì da questa osservazione per elaborare un ingegnoso metodo di calcolo delle dimensioni della Terra. Eratostene misurò che

a) nella città di Alessandria a mezzogiorno del 22 Giugno un bastone verticale alto 1 metro traccia un'ombra lunga 12,6 cm (i valori di Eratostene sono stati tradotti nelle unità di misura moderne)

b) la distanza di Alessandria e Siene è di 850 Km (e sono circa sullo stesso meridiano)

Sapreste dedurre approssimativamente la misura del raggio della Terra, come fece Eratostene? (il valore che si può trovare da queste osservazioni è solo del 5 per cento maggiore rispetto al valore reale)

La prima misura delle distanze della Luna e del Sole

Aristarco di Samo anticipò nel III secolo a.C. il sistema eliocentrico di Copernico e Galileo. Nel suo libro “Sulle dimensioni e la distanza del Sole e della Luna” fece la geniale osservazione che al momento del primo quarto il Sole, la Luna e la Terra sono ai tre vertici di un triangolo rettangolo il cui angolo retto corrisponde alla Luna. Attraverso la misura dell'angolo Luna-Terra-Sole si può dedurre che la distanza Terra-Sole è circa 400 volte maggiore della distanza Terra-Luna. ( il valore trovato da Aristarco era notevolmente inferiore per errori di misura, ma il metodo era corretto)

Dal momento che Sole e Luna, visti dalla Terra, sottendono circa lo stesso angolo (come può essere osservato durante una eclissi di Sole), calcolare il rapporto tra il raggio del Sole e quello della Luna.

Con misurazioni ulteriori relative alle eclissi di Luna Aristarco calcola anche che l'ombra della Terra alla distanza della Luna era il doppio delle dimensioni della Luna. Conoscendo il raggio della Terra è allora possibile calcolare la distanza del Sole e della Luna.

Un approfondimento interessante di questo metodo è legato agli errori di misura. Infatti il metodo di Aristarco è mal condizionato, perché consiste in linguaggio moderno nel misurare 1/cos(x) per valori di x molto vicini ad un angolo retto ([Ot]).

[C-F] L. Cateni, R. Fortini, Geometria, Cedam
[Ot] G. Ottaviani, Riflessioni sull'insegnamento della geometria oggi, Atti "Matematica, formazione scientifica e nuove tecnologie", Montevarchi 2001
[Pr] G. Prodi, Matematica come scoperta, vol. 2 per il biennio, D'Anna