Lezione del 10 maggio 2002 - I anno III ciclo della SSIS


Introduzione alle coniche


Menecmo (metà del quarto secolo a.C.):

La letterattura gli attribuisce la scoperta (o invenzione ?) delle sezioni coniche anche se non abbiamo documenti diretti.

Viene citato a proposito di una costruzione di medie proporzionali nell'ambito di ricerche sulla risoluzione del problema della duplicazione del cubo.

Venivano considerati coni i solidi generati da una rotazione di un triangolo rettangolo intorno ad uno dei suoi cateti e classificati in acutangoli, ottusangoli, rettangoli in relazione al tipo di angolo al vertice che si veniva a formare. Con ognuno di tali coni era generata una conica di un solo tipo mediante un piano perpendicolare ad una generatrice. Oxytome, Amblytome, Orthotome erano i loro nomi e di esse si studiavano i Symptoma.


Dimostrazione di uno di essi.


Apollonio (seconda metà del terzo secolo a.C.)

Notizie della sua opera sulle sezioni coniche: sistemazione organica delle sezioni coniche.

Le coniche sono generate dalle sezioni di un cono circolare (retto o obliquo) con piani che assumono diverse inclinazioni rispetto al suo asse.


Dimostrazione di una proprietà che permette di definire le coniche come luogo di punti.

(Costanza del rapporto tra le distanze di un qualunque punto della conica da un punto dato, fuoco, e da una retta, direttrice, e classificazione dei tipi di coniche in base al valore di tale rapporto.)


Teoremi del Dandelin (1822).


Equazione di una conica in un riferimento polare.


ESERCIZI


1) Scrivere l'equazione della conica con eccentricità e = 5/4 fissando il sistema di riferimento in modo tale che l'origine coincida con il suo fuoco e che la direttrice abbia equazione x = 9/5.

Determina poi le equazioni dell'isometria che la rende simmetrica rispetto agli assi del riferimento.

Scrivere l’equazione della stessa conica in coordinate polari fissando il polo nel fuoco e la direttrice perpendicolare all'asse polare.


2) Scrivere l'equazione della conica con eccentricità e = 4/5 fissando il sistema di riferimento in modo tale che l'origine coincida con il suo fuoco e che la direttrice abbia equazione x = 9/4.

Determina poi le equazioni dell'isometria che la rende simmetrica rispetto agli assi del riferimento.

Scrivere l’equazione della stessa conica in coordinate polari fissando il polo nel fuoco e la direttrice perpendicolare all'asse polare.


3) Dimostrare che la curva sezione di un cono circolare con un piano parallelo ad una generatrice è costituita da punti per i quali è costante ed uguale a uno il rapporto delle loro distanze da un punto (punto di tangenza tra "sfera" e piano secante) e da una retta (l’intersezione tra il piano secante e il piano della circonferenza di contatto tra la "sfera" e il cono).




Motivazioni di questa introduzione alle coniche:

E' un'occasione in cui è possibile

pur rimanendo in limiti di tempo accettabili.