Argomenti per l'esame di stato (matematica)

1. ALGEBRA

1.1 Il concetto di insieme. Relazioni, funzioni, operazioni

1.2. Le strutture in matematica: algebriche, d'ordine e topologiche.

1.3. Proprieta' delle struttura numeriche

1.4. I numeri naturali. Definizioni e dimostrazioni per induzione

1.5. I numeri reali: analisi dei possibili modi di introdurli

1.6. I numeri complessi e le loro rappresentazioni algebrica, vettoriale,

polare ed esponenziale

1.7. Calcolo numerico approssimato e propagazione degli errori

1.8. Polinomi (in una variabile); teorema di identita` dei polinomi,

MCD e mcm tra numeri e tra polinomi

1.9. Equazioni e disequazioni algebriche

2. GEOMETRIA

2.1. La geometria come concettualizzazione dello spazio: approccio intuitivo

e teorico; il metodo assiomatico

2.2. La geometria di Euclide. Riflessioni critiche e didattiche sulla

trattazione classica

2.3. Presentazione critica dell'assiomatica di Hilbert

2.4. La nozione di ``uguaglianza'' tra figure geometriche.

2.5. L'ambiente CABRI: soluzione di problemi di costruzione; esplorazione e

produzione di congetture.

2.6 Introduzione alla geometria analitica. Punti, rette nel piano cartesiano

(possibili introduzioni in relazione

al tipo di scuola e alla classe)

2.7 Le coniche: presentazione come luoghi in un riferimento cartesiano

opportunamente scelto; giustificazione in relazione alle proprietà delle

sezioni piane di un cono circolare retto

2.8 I poliedri e le loro caratteristiche fondamentali con particolare

riferimento a quelli regolari giustificandone il loro numero

2.9 Problematiche e idee fondamentali sulle geometrie non euclidee

con esempi di modelli

2.10 Il problema della misura in geometria

3. ANALISI

3.1. Il concetto di funzione

3.2. Le funzioni elementari (polinomi, funzioni goniometriche e loro inverse,

le funzioni esponenziali e logaritmiche, con riferimenti alle questioni

essenziali sulle potenze con esponente reale, alle proprietà delle potenze,

alle operazioni inverse della potenza, alle proprietà dei logaritmi)

3.3 Rappresentazione grafica di funzioni e loro composizione.

3.4 Progressioni aritmetiche e geometriche con esempi significativi

3.5. Il concetto e la definizione di limite

3.6. Continuita`, discontinuita` (discontinuita` "eliminabili" ed estensione

continua)

3.7. Il concetto, la definizione di derivata.

3.8. Sviluppo di Taylor e sue applicazioni

3.9. L'integrale definito: interpretazione e calcolo approssimato

3.10. Calcolo di aree e volumi (principio di Cavalieri)

3.11. Equazioni differenziali: dati iniziali, teorema di esistenza e unicita`,

risoluzione per discretizzazione, applicazioni a problemi di modellizzazione

3.12. Equazioni differenziali lineari ed applicazioni a problemi di modellizzazione. Esempi notevoli

4. STATISTICA e PROBABILITA'

4.1. Le diverse definizioni di probabilità con opportuni esempi applicativi

4.2. Elementi di probabilità

4.3. Probabilita' condizionata e teorema di Bayes

4.4. Distribuzioni di probabilita', la distribuzione normale e teoremi limite

4.5. Un'introduzione alla statistica descrittiva. Esempi applicativi in vari contesti

(sociologia, fisica, medicina)

5. MATEMATICA APPLICATA

5.1 Modelli discreti e continui di fenomeni naturali e sociali

5.2 Problemi decisionali

5.3 Metodi numerici per equazioni algebriche e differenziali

6. LOGICA

6.1 Il concetto di linguaggio formalizzato. Linguaggio e metalinguaggio. Livelli linguistici.

6.2. Il concetto di dimostrazione e le regole logiche.

6.3. Proprieta' delle teorie. Corenza, completezza

6.4 Algoritmi e funzioni ricorsive, applicazioni

7. INFORMATICA

7.1. Un'introduzione all'uso di software informatico nel contesto di temi opportuni.

Fogli elettronici e pacchetti applicativi (esempi: Cabri o Derive). Riflessioni

critiche sulla loro utilizzazione nella didattica

7.2. La risoluzione approssimata di equazioni con esempi applicativi,

il controllo della precisione di macchina.