Seminario di Analisi (a.a. 2009/10)

Consideriamo un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali di tipo ellittico in forma di divergenza. Il controesempio di De Giorgi ci mostra che, in generale, le soluzioni possono essere illimitate all'interno del dominio pur essendo limitate sul bordo dello stesso. Si cercano condizioni di struttura sul sistema affinché la limitatezza sul bordo implichi la limitatezza all'interno per le soluzioni. Si mostrerà una tale condizione ed alcuni esempi.

Given a bounded Lipschitz domain, we consider the Dirichlet problem with boundary data in Besov spaces for divergence form strongly elliptic systems of arbitrary order with bounded complex-valued coefficients. The main result gives a sharp condition on the local mean oscillation of the coefficients of the differential operator and the unit normal to the boundary (automatically satisfied if these functions belong to the space VMO) which guarantee that the solution operator associated with this problem is an isomorphism.

Mixed boundary value problems for the Navier-Stokes system in a three-dimensional polyhedral domain are considered. Different boundary conditions ( Dirichlet, Neumann and others ) are prescribed on the faces of a polyhedron. Regularity results for weak solutions in weighted (and non-weighted) L_p Sobolev and Holder spaces are discussed. The proofs are based on sharp pointwise estimates for Green's tensors of the Stokes system involving edge and vertex singularities. Applications to the boundary value problem on a viscous fluid with a free surface, placed in a faceted vessel are given.

Abstract

Il seminario espone i risultati conenuti in un lavoro in collaborazione con Luciana Angiuli (Università del Salento) e Umberto Massari (Università di Ferrara), lavoro in fase di elaborazione. Seguendo un approccio suggerito da Ledoux in un lavoro del '94, si può dare una caratterizzazione del perimetro di un insieme equivalente alla definizione originaria data da De Giorgi nel '54; tale studio è stato affrontato nel lavoro in collaborazione con Diego Pallara (Salento), Fabio Paronetto (Padova) e Marc Preunkert (Tuebingen), '07. Tale caratterizzazione è nello spirito molto simile alla definizione di contenuto di Minkowski; scopo del seminario è far vedere come il contenuto del calore, a differenza del contenuto di Minkowski, meglio si adatti alla geometria dell'insieme in considerazione.

We consider the isoperimetric problem with fixed volume inside a convex set in the Gauss space, in both the finite and infinite dimensional case, proving uniqueness and convexity of minimizers. In the finite dimensional case we also show existence of a maximal convex Cheeger set.

In questi ultimi anni, in collaborazione con E. Di Benedetto ed U. Gianazza, abbiamo studiato le stime di Harnack per equazioni paraboliche/singolari di tipo p-Laplaciano. Al fine di estendere le stime di Moser al caso quasilineare abbiamo utilizzato come strumento le classi di DeGiorgi. In questo talk si parla della possibilità di utilizzareil nuovo approccio ottenuto, non solo per provare stime di Harnack ma anche per provare la regolarità delle soluzioni.