Seminario di Analisi (a.a. 2009/10)

Si studia l'esistenza di soluzioni periodiche di un'equazione del tipo x'(t) = f(t,x_t) dove f è un campo vettoriale su una varietà differenziabile immersa in uno spazio euclideo. (Nella notazione precedente, data una funzione g, il simbolo g_t rappresenta la funzione da s a g(s+t).) Si accennerà anche a problemi di biforcazione per l'equazione precedente e all'esistenza di soluzioni periodiche nel caso di equazioni del secondo ordine su varietà. Il problema è affrontato usando la teoria dell'indice di punto fisso.

Verranno presentate alcune caratteristiche tipiche dei sistemi iperbolici di leggi di conservazione ed alcune tecniche che, recentemente, hanno avuto successo nel trattare queste equazioni alle derivate parziali. I risultati analitici così ottenuti hanno permesso di affrontare diversi problemi posti da applicazioni concrete. Saranno quindi considerati modelli e problemi di controllo relativi alla dinamica dei gas, al traffico veicolare ed alla dinamica di grandi gruppi di pedoni.

Si presenteranno dei risultati di esistenza delle soluzioni per certi sistemi di equazioni differenziali nonlineari, dove le nonlinearità cambiano segno. In particolare si studiano dei sistemi dove le equazioni sono del tipo di equazioni di Hill.

Consideriamo il problema variazionale che consiste nel minimizzare la compliance di una quantità fissata di materiale elastico isotropo distribuito in un'assegnata regione di design, e sottoposto a un carico di forze assegnato. Nel seminario verrà discussa l'analisi asintotica di questo problema quando la regione di design è un cilindro di altezza infinitesima (caso delle piastre sottili) oppure un cilindro di area infinitesima (caso delle sbarre sottili). I risultati presentati sono contenuti in alcuni recenti lavori con Guy Bouchitté e Pierre Seppecher.

In questo seminario mi propongo di descrivere un metodo per la ricostruzione di piccole perturbazioni di interfacce di inclusioni conduttrici e di inclusioni elastiche da misure spettrali.

Abstract

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