Seminario di Analisi a.a. 2010/11


17 settembre
Fujishima Youhei (Tohoku University)
Blow-up set for a semilinear heat equation and pointedness ot the initial data

1 ottobre
Yi Li (University of Iowa and Xian Jiaotong University)
Multiple solutions to an elliptic problem related to vortex pairs

Abstract


8 ottobre
Lorenzo Brasco (Università di Napoli)
Disuguaglianze isoperimetriche spettrali in forma quantitativa

Abstract: in questo seminario si ricorderanno alcune ben note disuguaglianze isoperimetriche relative agli autovalori dell'operatore di Laplace, sia nel caso di dato al bordo di tipo Dirichlet che di tipo Neumann. Si mostrera' come esse possano essere migliorate, rendendole quantitative: in particolare, si mostrera' la possibilita' di stimare la vicinanza (in un qualche senso) di un oggetto all'insieme isoperimetrico, in termini della vicinanza del relativo autovalore. Alcuni dei risultati quivi presentati fanno parte di un lavoro in collaborazione con Aldo Pratelli (Pavia).


15 ottobre
Enrico Valdinoci (Università di Roma Tor Vergata)
Simmetria 1D per l'equazione di Allen-Cahn, e questioni collegate.

Abstract: Nel 1978, De Giorgi chiese se le soluzioni limitate e monotone dell'equazione di Allen-Cahn dipendessero da una sola variabile euclidea - almeno in dimensione minore o uguale a otto. Discuteremo dello stato dell'arte di questo problema e di recenti sviluppi in problemi collegati.


22 ottobre
Guido De Philippis (Scuola Normale Superiore, Pisa)
Gamma convergenza di funzionali di tipo perimetro non locali

Recentemente nello studio di fenomeni legati alle transizioni di fase è emerso l'interesse per la definizione di funzionali di tipo perimetro non locali. Lo scopo del seminario è presentare alcuni recenti risultati ed in particolare mostrare un risultato di Gamma convergenza al perimetro "classico".


29 ottobre
Bernard Dacorogna (EPFL Lausanne)
On the equation detDu=f, with no sign hypothesis on f

5 novembre

ore 14.30 e 15.30

Kevin Payne (Università di Milano)
Existence/nonexistence of weak solutions for nonlinear equations of mixed type

Abstract: For second order semilinear equations of mixed elliptic-hyperbolic type on bounded domains in the plane, we will present some recent progress on the question of existence/nonexistence of non trivial weak solutions that satisfy a homogeneous boundary condition of Dirichlet type on all or part of the boundary. In particular, a better undrstanding of what consitutes critical growth for such problems will be discussed. The results to be presented are part of an ongoing collaboration with Daniela Lupo (Politecnico di Milano), Dario Monticelli (universita' di Milano) and Nedyu Popivanov (University of Sofia).

Rupert Frank (Princeton University)
Sharp constants in several inequalities on the Heisenberg group

We derive the sharp constants for the inequalities on the Heisenberg group H^n whose analogues on Euclidean space R^n are the well known Hardy-Littlewood-Sobolev inequalities. Only one special case had been known previously, due to Jerison-Lee more than twenty years ago. From these inequalities we obtain the sharp constants for their duals, which are the Sobolev inequalities for the Laplacian and conformally invariant fractional Laplacians. By considering limiting cases of these inequalities sharp constants for the analogues of the Onofri and log-Sobolev inequalities on H^n are obtained. The methodology is completely different from that used to obtain the R^n inequalities and can be used to give a new, rearrangement free, proof of the HLS inequalities.


12 novembre
Gian Paolo Leonardi (Università di Modena e Reggio Emilia)
A selection principle for quantitative isoperimetry

Abstract: We propose a variational approach to quantitative isoperimetry. Our method is based on a penalization argument and on the regularity theory for quasiminimizers of the perimeter. Two remarkable applications of the method will be presented: first, a new proof of the quantitative isoperimetric inequality in R^n; second, the proof of a conjecture posed by Hall in 1992.


19 novembre
Dimitri Mugnai (Università di Perugia)
Un principio di antimassimo quasi uniforme

Abstract: Proporremo una versione "quasi uniforme" del principio di antimassimo, ottenuta recentemente con Genni Fragnelli, mostrandone alcune applicazioni.


26 novembre
Carlo Nitsch (Università di Napoli)
Risultati ottimali su un problema di fencing nel piano

Abstract: We prove a long standing conjecture concerning the fencing problem in the plane: among planar convex sets of given area, prove that the disc, and only the disc maximizes the length of the shortest area-bisecting curve. Although it may look intuitive, the result is by no means trivial since we also prove that among planar convex sets of given area the set which maximizes the length of the shortest bisecting chords is the so-called Auerbach triangle.


3 dicembre

ore 14.30 e 15.30

Luigi Brugnano (Università di Firenze)
Un nuovo framework per la derivazione ed analisi di efficienti metodi one-step per la risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie

Abstract

Stefano Serra Capizzano (Università dell'Insubria)
From Toeplitz matrix-sequences to generalized locally Toeplitz sequences

Abstract


10 dicembre
Francesca Bucci (Università di Firenze)
Controllo ottimale e stime di regolarita' al bordo per sistemi interconnessi di EDP

Abstract: In questo seminario mi propongo di presentare lo sviluppo e i progressi recenti della teoria del controllo ottimale con funzionali quadratici per sistemi che descrivono problemi al contorno e ai valori iniziali per Equazioni a Derivate Parziali (EDP) con controllo sulla frontiera o puntuale. Di specifico interesse sono sistemi di EDP accoppiate di tipo diverso quali sistemi termoelastici, sistemi che descrivono interazioni tra onde acustiche e vibrazioni elastiche, modelli per le interazioni fluido-solido. Un avanzamento importante nello studio di tali problemi si e' avuto di recente con l'introduzione di una nuova formulazione astratta, capace di individuare proprieta' di regolarita' distintive della dinamica `ibrida' sufficienti a garantire la risolubilita' dei problemi di controllo ottimale associati, assieme alla buona positura delle equazioni di Riccati corrispondenti, ove invece le teorie classiche falliscono. Il ruolo speculare ma centrale della regolarita' delle tracce delle soluzioni del sistema di EDP "libero" (cioe' in assenza di controllo) verra' discusso ed illustrato.


17 dicembre
Antoine Henrot (Institute Cartan Nancy)
Some optimization problems in convex geometry with polygonal solutions

Abstract: In this talk we address some geometric optimization problems with convexity constraints. We are specially interested in problems whose solutions are singular, i.e. polygons. We will give an approach to study such questions, which is general for a wide class of problems, at least in two dimensions. We will illustrate this approach on several examples, including a geometric problem related to the reverse isoperimetric inequality and also the Mahler conjecture.



14 gennaio
Camillo De Lellis (Università di Zurigo)
A remark on Almgren's center manifold

Abstract: The construction of the center manifold is probably the most technical and difficult part of Almgren's celebrated work on the regularity of area-minimizing currents with codimension larger than $1$. Roughly speaking, in the neighborhood of a point of branching, the center manifold is close to the average of the sheets. As pointed out by Almgren in the introduction to his work, a remarkable corollary of his construction is a direct proof (i.e. without using the nonparametric theory of minimal surfaces) of $C^{3,\alpha}$ regularity in neighborhoods of points where no branching occurs. In this talk we show how to prove this corollary in a rather straightforward way, hoping that this will be the starting step of a much cleaner proof of Almgren's full result.


21 gennaio
Lisa Beck (SNS Pisa)
A uniqueness result for graphs of least gradient

Abstract: In this talk we address some features of variational integrals of linear growth. A model case is given by the minimization problem for the integral $$\int \sqrt{1 + |\nabla w|^2} dx$$ in Dirichlet classes of vector-valued functions w. After introducing the concept of generalized minimizers, we briefly comment on their existence and then focus on a recent result, namely their uniqueness (up to additive constants). Providing several examples we finally discuss in more detail the phenomenon of non-uniqueness, which is closely related to the possible non-attainment of the boundary values. All results were obtained in collaboration with T. Schmidt (Erlangen).


Giovedý

27 gennaio

Habib Ammari (Ecole Normale Superieure)
Multi-Static Imaging


4 febbraio
Andrea Ballerini (SISSA, Trieste)
A stability result for an inverse problem for the (Navier-)Stokes equations

Abstract: In this seminar we will discuss the inverse problem of detecting a single body immersed in a bounded domain, filled with a fluid obeying the Stokes equations, from a single measurement of forces and velocity on a portion of the boundary of the domain. We will first state the problem and discuss its ill-posedness. We will then state the stability result and sketch the steps taken in the proof. We will also discuss the adaptations needed in order to generalize the result to the case where the fluid obeys the nonlinear stationary version of Navier-Stokes equations.


18 febbraio
Andrea Colesanti (Università di Firenze)
Il problema di Minkowski e dintorni

Sunto: Il problema di Minkowski classico richiede di trovare un corpo convesso, cioe' un insieme convesso e compatto, con frontiera regolare, assegnata la curvatura di Gauss in funzione della normale esterna al bordo. Questo problema ammette una formulazione debole nella quale il dato e' la cosiddetta misura d'area di un corpo convesso. Questa misura puo' essere interpretata come la variazione prima del volume rispetto a certe perturbazioni del corpo. Lo scopo di questo seminario e' quello di sviluppare questo punto di vista e di descrivere problemi analoghi in cui il volume viene sostituito da funzionali classici del calcolo delle variazioni, come la capacita', il primo autovalore dell'operatore di Laplace con dato di Dirichlet e la rigidita' torsionale.


25 febbraio
Chiara Bianchini (Institut Élie Cartan Nancy)
Una disuguaglianza di Bonnesen-Fenchel, via un problema di ottimizzazione di forme.

Sunto: Considerano i minimi per il funzionale geometrico $\lamba$ Area - Perimetro, nella classe di insiemi convessi contenuti in un anello fissato, si dimostrano alcune disuguaglianze riguardanti l'area, il perimetro e l'inradius o il circumradius di insiemi convessi.


4 marzo

ore 14.30 e 15.30

Tobias Weth (Universitaet Frankfurt)
Liouville theorems for limit problems corresponding to cubic stationary Schr÷dinger systems

Abstract: In the study of a priori bounds for systems of stationary Schr÷dinger systems - as arising e.g. in the Hartree-Fock theory of a mixture of Bose-Einstein condensates - one is led, via a rescaling procedure, to analyze the solution set of cubic elliptic systems either in the entire space or in the half space. We will focus on existence and nonexistence results in the case where the system is not cooperative. Here the structure of the solution set depends in a subtle way on parameters, and standard methods like the moving plane method cannot be used.

Giovanni Alberti (Università di Pisa)
A uniqueness result for the continuity equation in two dimensions

Abstract: In the simplest form, our result characterizes the bounded, divergence-free vector fields on the plane such that the Cauchy problem for the associated continuity (or transport) equation has a unique bounded solution in the sense of distribution. Unlike previous results in this directions (cf. Di Perna-Lions, Ambrosio, etc.), the proof does not rely on regularization, but rather on a dimension-reduction argument. Note that the "good" vectorfields are not characterized in terms of function spaces (i.e., by inequalities), but by a qualitative property which is completely non-linear in character. These results have been obtained in collaboration with Stefano Bianchini (SISSA, Trieste) and Gianluca Crippa (University of Parma).


11 marzo
Elvira Mascolo (Università di Firenze)
Regolarità delle soluzioni di sistemi ellittici quasilineari

Abstract: Presenteremo alcuni nuovi risultati di locale limitatezza delle soluzioni di sistemi ellittici quasilineari sotto ipotesi di crescita anisotropa e p-q. Daremo anche una panoramica dello stato dell'arte della regolarità sotto ipotesi di crescita non-standard.


18 marzo
Eric Carlen (Rutgers University)
Generalization of the Brascamp-Lieb Inequality and Related Inequalities for Log-concave Measures

Abstract: The Brascamp--Lieb Poincaré type inequality provides a bound on the covariance of two functions with respect to log-concave measures. The bound estimates the covariance by the product of the L^2 norms of the gradients of the functions, where the magnitude of the gradient is computed using an inner product given by the inverse Hessian matrix of the potential of the log-concave measure. Menz and Otto have recently proved a variant of this in one dimension with the two L^2 norms replaced by L^1 and L^\infty norms, but only for R. We prove a generalization of both by extending these inequalities to L^p and L^q norms and on R^n, for any n\geq 1. We also prove an inequality for integrals of divided differences of functions in terms of integrals of their gradients, with an interesting relation to both the Brascamp-Lieb inequality and the KLS conjecture. This is joint work with Dario Cordero-Erausquion and Elliott Lieb.


25 marzo
Emanuele Nunzio Spadaro (Universitaet Bonn, Hausdorff Center for Mathematics)
Nondoubling weights, higher integrability and a new a priori estimate for minimal currents

Abstract: In this talk I will present some recent results on higher integrability, "nondoubling" Muckenhoupt weights and regularity of minimal currents. In particular, I will show an equivalent condition to the higher integrability with increasing supports which is a generalization of the Muckenhoupt weights holding true also for nondoubling measures. This result is in turn used to deduce a new a priori estimate for minimal currents in any codimension. Time permitting, some connection with the problem of approximation of minimal currents will be also highlighed.


1 aprile

AULA 7

Giuseppe Di Fazio (Università di Catania)
Strong A_\infty weights and quasilinear degenerate elliptic equations

Abstract


Giovedì

7 aprile

ore 14.30 e 15.30

Verena Boegelein
Low order regularity for elliptic and parabolic problems

Abstract

Frank Duzaar
The regularity of general parabolic systems with degenerate diffusion

Abstract


15 aprile
Paolo Tilli (Politecnico di Torino)
Equazioni delle onde non lineari come limite di problemi convessi: una congettura di De Giorgi.

Verranno discussi alcuni recenti risultati riguardanti una congettura di De Giorgi, che permette di ottenere problemi di Cauchy per equazioni delle onde non lineari (defocusing, con non linearitÓ arbitraria di tipo potenza) come limite di problemi di minimizzazione per funzionali convessi del Calcolo delle Variazioni, dipendenti da un parametro. Saranno anche discussi alcuni problemi aperti e diverse possibili estensioni.


29 aprile

ore 14.30 e 15.30

Filippo Cagnetti
La k-quasiconvessità si riduce alla quasiconvessità

L'oggetto del seminario è lo studio della relazione tra k-quasiconvessità e quasiconvessità, per ogni k >= 2. Mostreremo che sotto opportune ipotesi una funzione strettamente k-quasiconvessa e con p crescita (p>1) è la restrizione all'insieme dei k-tensori simmetrici di una funzione quasiconvessa con la stessa crescita. Questo permette di dedurre risultati di semicontinuità per problemi variazionali di ordine k utilizzando teoremi già noti per problemi di ordine 1. I risultati esposti generalizzano un lavoro di Dal Maso, Fonseca, Leoni e Morini riguardante il caso k=2.

Patrick Guidotti
A new forward-backward regularization of the Perona-Malik equation

The Perona-Malik equation (PME) is a forward-backward nonlinear diffusion which was proposed in the context of image processing as an image enhancement tool capable of preserving sharp features such as edges. To this day its mathematical nature has not been fully understood in spite of many an attempt. After a brief historical overview of the mathematical results available for the equation and its many regularizations/relaxations, the talk will introduce and analyze a novel, rather natural, regularization which will shed light on the nature of PME. The regularization is quite mild in that PME is regularized by a family of forward-backward equations, the solutions of which are, however, better behaved.


6 maggio
Antonino Morassi (Università di Udine)
Quasi-isospectral systems

Abstract


20 maggio
Almut Burchard (University of Toronto)
Random sequences of simple rearrangements

It often useful to approximate the symmetric decreasing rearrangement by a sequence of simpler rearrangements, such as polarization (two-point rearrangement), Steiner symmetrization, or the Schwarz rounding process. In this talk, I will discuss recent results with Marc Fortier on the convergence of random sequences of rearrangements. We derive conditions under which random sequences of polarizations converge almost surely to the symmetric decreasing rearrangement. The parameters for the polarizations are independent random variables whose distributions may be far from uniform. In the special case of i.i.d. sequences, there is almost sure convergence even for polarizations chosen at random from small sets. These statements about polarization allow us to improve the existing convergence results for Steiner symmetrization. In particular, we show that full rotational symmetry i can be achieved by Steiner symmetrization along a random sequence chosen from finite sets of directions that satisfy an explicit non-degeneracy condition. Finally, we construct examples for dense sequences of directions such that the corresponding Steiner symmetrizations do not converge.



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