La nuova analisi e la scuola di Bologna


Le profonde indagini di Ulisse Dini sulle funzioni di variabile reale esposte nei Fondamenti (1878) e sviluppate nel suo magistero pisano furono continuate dai suoi allievi Ascoli, Arzelà e Volterra, mentre il suo delfino Luigi Bianchi non nutriva interesse per questo tipo di ricerca. Essa trovò nell'ambito dell'Università di Bologna, dove si erano trasferiti nel 1880 Arzelà e Pincherle, il luogo dove per quasi cinquant'anni poté essere sviluppata con successo.

L'iniziatore della scuola bolognese delle funzioni di variabile reale fu Cesare Arzelà, che su suggerimento del suo ex allievo Volterra spostò su questo campo i suoi interessi inizialmente diretti all'analisi algebrica. Si devono ad Arzelà fondamentali risultati sulle serie di funzioni continue e integrabili e l'aver intuito il legame tra le ricerche in analisi reale e il calcolo delle variazioni nel suo lavoro sul principio di Dirichlet (1896).

Giuseppe Vitali aveva iniziato i suoi studi a Bologna, li aveva terminati a Pisa con Bianchi presso la Scuola Normale. Trasferitosi a Voghera come insegnante di Liceo, riprese i contatti con Arzelà ottenendo nel giro di pochi anni una serie di fondamentali risultati: il teorema sulle serie di funzioni complesse, la caratterizzazione delle discontinuità delle funzioni integrabili secondo Riemann, l'equivalenza tra le nozioni di funzione di Baire e di Borel, il teorema sulla quasi-continuità delle funzioni misurabili (detto teorema di Lusin), il primo esempio di un insieme non misurabile secondo Lebesgue, la caratterizzazione delle funzioni assolutamente continue, il teorema di integrazione per serie, il teorema di ricoprimento (1908).

A Bologna si laureò con Arzelà Leonida Tonelli, che diede le prime prove delle sue capacità studiando le curve rettificabili la cui lunghezza è esprimibile mediante un integrale di Lebesgue e le formule di riduzione degli integrali multipli (teorema di Fubini-Tonelli). Il primo lavoro di Tonelli sul calcolo delle variazioni è del 1911 e, tra il 1913 e il 1915, egli diede il suo principale contributo riconoscendo nella semicontinuità la proprietà generale che permette di dimostrare l'esistenza di un estremo nei funzionali di tipo integrale. Benché Lebesgue avesse introdotto la semicontinuità nella sua tesi di laurea sulla teoria dell'integrazione, pubblicata sugli Annali di matematica nel 1902, non l'aveva poi utilizzata nel suo lavoro del 1907 sul problema di Dirichlet. Solo dopo qualche anno ci si rese conto dell'importanza delle ricerche sulle funzioni di variabile reale: Vitali rimase per molto tempo nell'insegnamento secondario, altri allievi di Arzelà trovarono uno sbocco accademico nella matematica attuariale. La conferenza di Tonelli al Congresso dei matematici di Bologna, presieduto da Pincherle (1928) fu il segno del riconoscimento internazionale.


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