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Professore associato
Dipartimento di Matematica dell'Universita' di Firenze . Tel. ++39 -055-4237112, Fax. ++39-055-4222695
Sono nato a Prato il 15 febbraio 1960.
Mi sono laureato in Matematica nel 1984 all'Universita' di
Firenze, con una tesi di geometria convessa, sotto la direzione del Prof. Carlo
Pucci.
Dal 1986 al 1993 ho lavorato come ricercatore all' Istituto di Analisi Globale ed Applicazioni
del CNR a Firenze.
Nei due anni 1989-1990 ho svolto ricerche presso la School of Mathematics dell'Universita' del
Minnesota a Minneapolis.
Dal 1993 sono Professore Associato di Analisi Matematica: fino all'Ottobre 2001 presso
la Facoltà di Scienze dell'Università di Ferrara, e successivamente presso la Facoltà di Agraria dell'Universita' di Firenze.
La mia attivita' di ricerca si e' concentrata su due tematiche.
La prima riguarda lo studio di alcune proprieta' di
insiemi e funzioni convesse.
Ho provato la congettura di G. Matheron per il problema del
covariogramma: il problema consiste nella ricostruzione di un
insieme convesso K in R^n dalla conoscenza della sua covarianza.
Questa puo' essere definita come la funzione che ad ogni
x in R^n associa il volume dell'intersezione di K con il suo traslato K+x, e
coincide anche con l'autocorrelazione 1K*1-K
della funzione caratteristica di K. Questo
problema e' stato posto indipendentemente da G. Matheron nel 1986 e da R. Adler
e R. Pyke nel 1991. E' di interesse, oltre che in geometria convessa, in
statistica e in probabilita'. Ha varie applicazioni, ad esempio
compare in cristallografia a raggi X, nella determinazione di certi materiali, i "quasi-crystals", dalle
loro immagini di diffrazione.
Mi sono occupato anche di tomografia convessa .
Quest'ultima e' il problema inverso a cui si riduce la tomografia
computerizzata sotto ipotesi di convessita' ed omogeneita' del corpo da
ricostruire.
Infine ho studiato proprietà di funzioni convesse (ho dato anche una nuova
dimostrazione della esistenza quasi ovunque delle derivate seconde di una
funzione convessa) e di insiemi convessi.
La seconda tematica riguarda alcuni problemi nell'ambito
delle equazioni a derivate parziali di tipo ellittico.
Ho studiato principalmente problemi di esistenza, non
esistenza e simmetria di soluzioni di alcune equazioni ellittiche semilineari di interesse in geometria
differenziale (problema della curvatura scalare conforme o di
Kazdan-Warner). Un esempio è il problema della curvatura scalare conforme (o di Kazdan-Warner)
in cui si cerca di capire per quali funzioni K(x) esiste una metrica su Sn che è conforme a quella standard
e la cui curvatura scalare è K(x). Questo problema si riduce all'esistenza o meno di una soluzione di una equazione su
Rn con una nonlinearità legata al cosiddetto esponente critico.
Ho anche dato una risposta positiva ad una domanda posta da H. Brezis e
E. Lieb riguardante l'esistenza di un ''termine di resto'' nella
disuguaglianza di Sobolev relativa all'immersione di D1,2(Rn) in L2n/(n-2)(Rn):
la differenza tra la norma L2 del gradiente di una funzione u e la norma L2n/(n-2)
di u può essere stimata dal basso da una costante positiva moltiplicata
per la distanza di u dalla varietà delle funzioni estremanti per la
disuguaglianza di Sobolev.
I was born in Prato, Italy, on
February 15th, 1960.
I graduated in mathematics in 1984, under
the guidance of Prof. Carlo Pucci, discussing a thesis in convex
geometry.
In 1986 I become researcher, a permanent
position, in Istituto di Analisi Globale ed
Applicazioni , an institute in Florence of the Italian National Research
Council.
I spent the two years 1989, 1990 in the
Department of Mathematics of the University
of Minnesota at Minneapolis, as a visiting scholar. During that period I
studied some problems in the field of partial differential equations
collaborating with professors H. Weinberger and Wei-Ming Ni.
Starting from 1993 I work as associate
professor: at the University of Ferrara up September 2001, at the University
of Florence since October 1st.
My main research interests are the following.
The first one regards the study of
properties of convex functions and sets.
I studied for instance convex tomography.
This is the inverse problem to which computerized tomography reduces under the
assumption of homogeneity and convexity of the body which has to be
reconstructed.
As another example I obtained, in
collaboration with others, a new proof of the existence almost everywhere of
the second differential of a convex function.
Finally recently I'm studying the
covariogram problem, that is the problem of the determination of a convex body
from the knowledge of the convolution with itself of the characteristic
function of the body. This problem arise in mathematical morphology, Fourier
analysis and probability theory
The second research interest is in the
field of elliptic partial differential equations.
In this field I have mainly studied some
semilinear elliptic equations which arise in connections with problems in
differential geometry. An example is the scalar curvature (or Kazdan-Warner)
problem, where one tries to understand for which functions K(x) there exists a
metric on Sn which is conformal to the standard one and whose scalar
curvature is K(x). This problem reduces to the existence of a solution of an
equation on Rn with a nonlinearity involving the critical
exponent.
I've also been interested to the question
of the symmetry of the solutions of semilinear elliptic
equations.
G. Bianchi, P. M. Gruber, Characterizations of ellipsoids, Archiv der Matematik 49 (1987), 344-350. (file .pdf)
G. Bianchi, M. Longinetti, Reconstructing plane sets from Projections, Discrete and Computational Geometry 5 (1990), 223-242. (file .pdf)
G. Bianchi, H. Egnell, A note on the Sobolev inequality, Journal of Functional Analysis 100 (1991), 18-24. (file .ps)
G. Bianchi, H. Egnell, An ODE approach to the equation Du+K u(n+2)/(n-2) =0 in Rn, Mathematische Zeitschrift 210(1992),137-166. (file .ps)
G. Bianchi-H. Egnell, A Variational approach to the equation Du+K u(n+2)/(n-2) =0 in Rn, Arch. Rational Mech. Anal. 122 (1993), 159-182 (file.ps)
G. Bianchi- A. Colesanti- C. Pucci, On the second differentiability of convex surfaces, Geometriae Dedicata 60(1996), 39-48 (file .pdf)
G. Bianchi, Non-existence and symmetry of solutions to the scalar curvature equation, Comm. Part. Diff. Equat. , 21(1996), 229-234. (file .ps)
G. Bianchi, Non existence of positive solutions to semilinear elliptic equations on Rn or Rn+ through the method of moving planes, Comm. Part. Diff. Equat. 22(1997), 1671-1690. (file .ps)
G. Bianchi, P. Gronchi, Steiner symmetrals and their distance from a ball, Israel J. Math. 181 (2003), 181--193. (file .pdf)
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G. Bianchi, The cross covariogram of a pair of polygons determines both polygons, with a few exceptions, Advances in Applied Mathematics42 (2009), 519--544; arXiv:0805.1805v1 [math.MG].
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