ATTIVITA' SVOLTA
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L’attività di ricerca svolta nell’ambito del presente progetto ha riguardato la definizione, analisi ed implementazione di metodi numerici per la risoluzione approssimata di problemi retti da equazioni differenziali ordinarie di vario tipo. Essa si è articolata, come da programma, nei seguenti filoni principali:

1. analisi delle proprietà dei metodi numerici di base per la risoluzione di equazioni differenziali di vario tipo;

2. analisi della efficiente implementazione dei metodi numerici di integrazione per equazioni differenziali di vario tipo;

3. sviluppo software.

Ciascuno dei punti precedenti si è articolato, a sua volta, in diverse tematiche, come di seguito descritto

Relativamente al primo punto, si ha:
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1.1 Analisi di convergenza di metodi multistep per la risoluzione numerica di equazioni differenziali stocastiche (SODEs): questo argomento è stato trattato nella referenza [1], in cui è stata fatta l’analisi di convergenza per metodi tipo Adams per la risoluzione di problemi ai valori iniziali. L’analisi condotta è stata fatta utilizzando una formulazione globale del problema discreto, la cui analisi viene ricondotta allo studio delle proprietà di condizionamento di opportune matrici definite dal metodo numerico considerato. Questo approccio, a suo tempo utilizzato per l'analisi dei metodi BVM (Boundary Value Methods, vedi la monografia [*]) per ODE, è stato qui esteso al caso di equazioni stocastiche.

1.2 Analisi di stabilita' per famiglie di metodi BVM: nella referenza [6] è stata fatta l’analisi di stabilità lineare per la famiglia di metodi BVM nota come “Top Order Methods (TOM)”. Per questi metodi, già precedentemente descritti in [*], non era stata ancora fatta una dimostrazione formale della loro A-stabilità (in senso generalizzato come BVM, come descritto in [*]). In questo lavoro (svolto in collaborazione con l’u.o. di Pisa) questa analisi viene fatta studiando una speciale equazione alle differenze a coefficienti variabili, che risulta essere assai simile a quella cui soddisfano i polinomi di Legendre. Lo studio delle proprietà di stabilità di altri metodi BVM, per l’esattezza le “Extended Trapezoidal Rules”, è stata inoltre affrontata nella referenza [S1]. Altre questioni, sempre legate alla stabilità di metodi LMF sono state infine trattate nelle referenze [7] e [8] (si veda anche [P1], [P6] e [R1]).

1.3 Risoluzione numerica efficiente di problemi di tipo Hamiltoniano: nella referenze [14] e [17] sono discusse le proprietà che devono essere soddisfatte da metodi lineari multistep per la risoluzione di problemi di tipo Hamiltoniano. Infatti, nonostante la mancanza di buoni risultati riguardo la simpletticità di questi metodi, essi sono molto utilizzati da numerosi ricercatori. L’analisi condotta si basa sulla proprietà di perfetta A-stabilità (anche in senso generalizzato) cui soddisfano LMF di tipo simmetrico, quando correttamente utilizzati come BVM. Importanti proprieta' delle matrici Hamiltoniane, coinvolte in questa tematica, sono analizzate nella referenza [18], anche in connessione con l'utilizzo di metodi simmetrici [19]. Inoltre, il concetto di simpletticità è stato generalizzato, per metodi LMF simmetrici (con un particolare riferimento al metodo dei trapezi), nella referenza [16] (si veda anche [P3]). Ulteriori approfondimenti sulle proprietà dei sistemi dinamici discreti indotti dal metodo dei trapezi applicato a problemi di tipo Hamiltoniano sono state, infine, argomento della pubblicazione [15]. Questa ricerca e' stata condotta in collaborazione con l'u.o. di Bari.

1.4 Definizione di nuove classi di metodi: nella referenze [12] e [13] (vedi anche [P4]) la classe di metodi BVM denominata “BS methods”, caratterizzati da una estensione continua costituita da una spline interpolante di collocazione, e' analizzata nel caso di mesh variabile. Questo studio e' stato condotto in vista della implementazione dei metodi BS in un codice di calcolo per la risoluzione di ODE-BVPs. Ulteriori approfondimenti su questa tematica sono contenuti nella referenza [S5]. Questa ricerca è stata svolta in collaborazione con l’u.o. di Bari.

Relativamente al secondo punto, la ricerca si è articolata come segue:
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2.1 Analisi di euristiche utilizzate nella efficiente implementazione di metodi numerici per equazioni differenziali: nella referenza [2] è descritta l’analisi su cui si basa l’implementazione, nel codice BiM (e nella sua estensione BiMD, entrambi descritti nel punto successivo), di strategie intese ad evitare, ove appropriato e possibile, la rivalutazione dello Jacobiano del problema, e/o della fattorizzazione, richiesta nella implementazione dello splitting nonlineare per la risoluzione del problema discreto generato ad ogni passo.

2.2 Stime dell'errore locale per metodi LMF: nella referenza [3] viene fatta una accurata analisi della stima dell’errore locale mediante “deferred correction”, quando il metodo sottostante è definito da un blocco di metodi LMF (come nel caso, ad esempio, dei metodi BVM e dei metodi RK di collocazione). Il risultato, assai generale, è stato quindi utilizzato nella effettiva implementazione dei codici BiM e BiMD, per rendere estremamente efficiente, dal punto di vista della memoria richiesta, la stima dell’errore locale.

2.3 Risoluzione efficiente dei problemi discreti: nella referenza [4], l’implementazione “blended” di metodi impliciti a blocchi è stata generalizzata al caso della risoluzione di equazioni differenziali algebriche (DAE) linearmente implicite. In particolare, l’analisi lineare di convergenza condotta ha evidenziato come la matrice di iterazione, relativamente alla parte algebrica del problema, sia una matrice nilpotente avente indice di nilpotenza pari all’indice della DAE. Questo risultato, assai utile ed elegante, permette di concludere che l’implementazione “blended” di metodi impliciti a blocchi è efficientemente utilizzabile per la risoluzione di DAE linearmente implicite. Questa analisi, propedeutica alla estensione del codice BiM per la risoluzione di questo tipo di problemi, ha poi portato alla stesura del codice BiMD.

2.4 Risoluzione efficiente dei problemi discreti per problemi del secondo ordine: nella referenza [5] viene introdotta la estensione dei metodi “blended impliciti a blocchi” per problemi speciali del secondo ordine di tipo stiff. La teoria risultante si prefigura come una naturale ed elegante estensione di quella sviluppata per il caso dei problemi del primo ordine. Sono stati quindi ottenuti risultati, derivanti dall’applicazione di questa teoria, relativi alla definizione di efficienti splitting per la risoluzione iterativa dei problemi discreti generati, che sono estremamente competitivi (ed assai più semplici da derivare, grazie alla teoria proposta), rispetto a quelli apparsi nella letteratura recente su questo argomento.

2.5 Condizionamento dei problemi discreti: nella referenze [9] e [11] (si veda anche [P2]) viene analizzato il ruolo del condizionamento del problema nella risoluzione di problemi ai valori ai limiti. Infatti, nel caso di problemi mal condizionati o nel caso di problemi stiff, un controllo della mesh basato sulla sola stima dell'errore globale (tecnica utilizzata nella maggior parte dei codici attualmente disponibili) può risultare del tutto inefficace. In questo caso, e' infatti necessario avere anche informazioni riguardo alla propagazione di perturbazioni del problema, ovvero del suo condizionamento. In questi lavori, vengono analizzate alcune metodologie per la determinazione del numero di condizionamento del problema ai valori ai limiti, in vista della loro implementazione in codici di calcolo efficienti per la risoluzione di problemi di tipo stiff. Ulteriori questioni, legate soprattutto alla “stiffness” dei problemi, sono trattati nella referanza [S4]. Questa ricerca è stata condotta in collaborazione con l’u.o. di Bari.

2.6 Selezione della mesh di integrazione: la risoluzione efficiente di problemi ai valori ai limiti particolarmente difficoltosi richiede una attenta selezione della mesh. Questo problema e' analizzato nella referenza [10] (si veda anche [P5]), in cui si propone una tecnica di selezione della mesh basato sulla equidistribuzione di una funzione monitor "ibrida" definita come una combinazione di una stima dell'errore globale e di una stima di una misura del condizionamento del problema continuo. Infatti è cruciale tener conto di entrambi questi aspetti, nel caso di problemi difficili quali, ad esempio, quelli a perturbazione singolare. La strategia proposta e' implementata nel codice TOM, che implementa un metodo BVM, ad ordine e passo variabili, per la risoluzione di problemi ai valori ai limiti di tipo stiff. Questa ricerca è stata condotta in collaborazione con l’u.o. di Bari.

2.7 Aspetti differenti, sempre relativi alla risoluzione dei problemi discreti generati dall’applicazione di metodi numerici per la risoluzione di problemi ai valori iniziali per equazioni differenziali, sono stati argomento delle referenze [S2] e [S3]. In particolare, in [S2] è stata formalizzata, nel modo più completo, una teoria di analisi lineare per splitting per la risoluzione iterativa dei problemi discreti. I parametri proposti per la valutazione delle performance dei vari splitting sono assai significativi, per la stesura di efficienti codici di calcolo, e sono stati realmente implementati nella stesura dei codici BiM e BiMD, descritti nel seguito. Nella referenza [S3] sono stati analizzati possibili sviluppi di un algoritmo, per la risoluzione di equazioni differenziali su calcolatori paralleli, che utilizza un tipo di approccio denominato “parallelismo across the steps”. Questo algoritmo era stato proposto in precedenza dagli stessi autori e si evidenziano, peraltro, le connessioni con successivi approcci al problema quali, ad esempio, il cosiddetto “Parareal algorithm” di Lion, Maday e Turinici.


Per ultimo, relativamente al terzo punto, si ha:
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3.1 Aprile 2005: release della versione 2.0 del codice di calcolo BiM per la risoluzione di ODE-IVPs di tipo stiff (vedi anche i prodotti della ricerca, punto 5). Il codice BiM implementa un "metodo blended implicito a blocchi" ad ordine e passo variabili. Il codice e' disponibile al sito:

http://www.math.unifi.it/~brugnano/BiM/index.html

Una ampia sperimentazione del codice BiM sui problemi disponibili presso il "Test Set for IVP Solvers" (http://www.dm.uniba.it/~testset/) ed il "Geneva Test Set" (http://www.unige.ch/~hairer/testset/testset.html), i cui risultati sono in parte riportati anche sulla pagina a cui il codice e' disponibile, prefigurano il codice BiM tra i più robusti ed efficienti attualmente disponibili per questa classe di problemi.


3.2 Ottobre 2005: release della versione 1.0 del codice di calcolo BiMD per la risoluzione di ODE-IVPs di tipo stiff, e DAE linearmente implicite, di indice fino a 3 (vedi anche i prodotti della ricerca, punto 6). Il codice BiMD implementa un "metodo blended implicito a blocchi" ad ordine e passo variabili, che si prefigura come una (sostanziale) estensione del codice BiM descritto al punto precedente. Il codice e' disponibile al sito:

http://www.math.unifi.it/~brugnano/BiM/index.html

Anche questo codice e' stato ampiamente sperimentato, in particolare sui problemi disponibili presso il "TestSet for IVP Solvers" (http://www.dm.uniba.it/~testset/) ed il "Geneva Test Set" (http://www.unige.ch/~hairer/testset/testset.html), e i relativi risultati sono in parte riportati anche sulla pagina a cui il codice e' disponibile. Anche in questo caso, il codice BiMD risulta essere tra i piu' robusti ed efficienti attualmente disponibili.

3.3 Luglio 2006: release della versione 1.1 del codice BiMD (vedi punto precedente), la cui struttura dati ha subito una completa revisione (vedi anche il punto 7 dei prodotti della ricerca), con corrispondente aggiornamento della pagina web relativa al codice.

3.4 Settembre 2006: release della versione 1.1.1 del codice BiMD (vedi punti 3.2-3.3), in cui sono stati corretti alcuni “bug” (vedi anche il punto 8 dei prodotti della ricerca).

3.5 Collaborazione, insieme all’u.o. di Bari, alla relase della versione 2.3 del “Test Set for IVP Solvers” (vedi anche il punto 9 dei prodotti della ricerca).


I risultati delle precedenti ricerche sono stati anche presentati in una serie di talk a conferenze sia internazionali (vedi [C1,T1-T11]) che nazionali. Queste ultime includono un workshop intermedio organizzato nell’ambito del progetto [W1]. Tra le conferenze internazionali, si menzionano le “plenary lectures” [T4,T5,T9] e [T10], quest’ultima in uno dei convegni più importanti riguardanti la risoluzione numerica di equazioni differenziali ed equazioni differenziali algebriche (per l’esattezza, l’”11th Seminar NUMDIFF” tenutosi ad Halle (D) in settembre 2006). Inoltre, si prevede di presentare i risultati piu’ recenti in un minisimposio, organizzato nell’ambito della conferenza “Scicade 07”, che si terra’ nel luglio 2007 a Saint-Malo (F) (vedi [C2]). Si sottolinea che le serie “Scicade” e “NUMDIFF” costituiscono le conferenze piu’ prestigiose, riguardo alla risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie e differenziali algebriche.


Riferimenti:
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[*] L.Brugnano, D.Trigiante. “Solving Differential Problems by Multistep Initial and Boundary Value Methods”. Gordon and Breach Science Publ., Amsterdam, 1998.

[1-19] vedere la sottostante sezione PUBBLICAZIONI SU RIVISTE INTERNAZIONALI

[P1-P6] vedere la sottostante sezione PROCEEDINGS DI CONVEGNI INTERNAZIONALI (sia referati che non)

[S1-S6] vedere la sottostante sezione LAVORI SOTTOMESSI PER LA PUBBLICAZIONE SU RIVISTE INTERNAZIONALI

[R1] vedere la sottostante sezione RAPPORTI INTERNI

[C1-C2] vedere la sottostante sezione ORGANIZZAZIONE DI CONFERENZE INTERNAZIONALI

[W1] vedere la sottostante sezione ORGANIZZAZIONE DI WORKSHOP NAZIONALI

[T1-T11] vedere la sottostante sezione PRESENTAZIONE A CONFERENZE INTERNAZIONALI




PUBBLICAZIONI SU RIVISTE INTERNAZIONALI
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[1] L.Brugnano, K.Burrage, G.Carreras. "On the convergence of LMF-type methods for SODEs". Mediterranean Journal of Mathematics, 1 (2004) 297-313.

[2] L.Brugnano, C.Magherini. "Some Linear Algebra Issues Concerning the Implementation of Blended Implicit Methods". Numerical Linear Algebra with Applications, 12 (2-3) (2005) 305-314.

[3] L.Brugnano, C.Magherini. "Economical error estimates for Block Implicit Methods for ODEs via Deferred Correction". Applied Numerical Mathematics, 56 (2006) 608-617.

[4] L.Brugnano, C.Magherini, F.Mugnai. "Blended Implicit Methods for the numerical solution of DAE problems". Journal of Computational and Applied Mathematics, 189 (2006) 34-50.

[5] L.Brugnano, C.Magherini. “Blended Implicit Methods for solving ODE and DAE problems, and their extension for second order problems”, Journal of Computational and Applied Mathematics (in corso di stampa).

[6] L. Aceto, R. Pandolfi, D. Trigiante. "One parameter family of linear difference equations and the stability problem for the numerical solution of ODEs" . Advances in Difference Equations (2006) Art. 19276, 1-14.

[7] L.Aceto, D. Trigiante. “The stability problem for linear multistep methods: old and new results”, Journal of Computational and Applied Mathematics (in corso di stampa).

[8] L.Aceto, R. Pandolfi, D. Trigiante. “Stability analysis of linear multistep methods via polynomial type variation”, Journal of Numerical Analysis, Industrial and Applied Mathematics (in corso di stampa).

[9] R. Cash, F. Mazzia, N. Sumarti, D. Trigiante. "The Role of Conditioning in Mesh Selection Algorithms for First Order Systems of Linear Two-Point Boundary Value Problems". Journal of Computational and Applied Mathematics 185 (2006) 212-224.

[10] F. Mazzia, D. Trigiante. "An hybrid mesh selection strategy based on conditioning for boundary value ODEs problems". Numerical Algorithms 36 (2) (2004) 169-187.

[11] F. Iavernaro, F. Mazzia, D. Trigiante. “Stability and conditioning in numerical analysis”, Journal of Numerical Analysis, Industrial and Apllied Mathematics, 1 (2006) 91-112.

[12] F.Mazzia, A.Sestini, D.Trigiante. "BS linear multistep methods on non-uniform meshes". Journal of Numerical Analysis, Industrial and Apllied Mathematics, 1 (2006) 131-144.

[13] F.Mazzia, A.Sestini, D.Trigiante. “B-Spline linear multistep methods and their continuous extensions”, SIAM Journal on Numerical Analysis 44 (2006) 1954-1973.

[14] F. Iavernaro, F. Mazzia, D. Trigiante. "Multistep methods for Conservative Problems". Mediterranean Journal of Mathematics 2 (2005)53-69.

[15] F.Iavernaro, D.Trigiante. “Discrete conservative vector fields induced by the Trapezoidal Method”, Journal of Numerical Analysis, Industrial and Apllied Mathematics, 1 (2006) 113-130.

[16] F.Iavernaro, D.Trigiante. “State dependent symplecticity and area preserving numerical methods”, Journal of Computational and Applied Mathematics (in corso di stampa).

[17] P.Amodio, F.Mazzia, D.Trigiante. "Symmetric schemes and Hamiltonian perturbations of linear Hamiltonian problems". Numerical Linear Algebra with Appl. 12 (2-3) (2005) 171-179.

[18] P.Amodio, F.Iavernaro, D.Trigiante. "Conservative perturbations of positive definite Hamiltonian systems". Numerical Lin. Alg. Appl. 12 (2-3) (2005) 117-125.

[19] P.Amodio, F.Iavernaro, D.Trigiante. "Symmetric schemes and Hamiltonian perturbations of linear Hamiltonian problems". Numerical Lin. Alg. Appl. 12 (2-3) (2005) 171-179.

PROCEEDINGS DI CONVEGNI INTERNAZIONALI REFERATI
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[P1] L. Aceto, D. Trigiante. “Pascal matrix, classical polynomial and difference equations”, (in stampa sui Proceedings of the International Conference on Difference Equations, Special Functions and Applications).


PROCEEDINGS DI CONVEGNI INTERNAZIONALI NON REFERATI
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[P2] F.Iavernaro, F.Mazzia, D.Trigiante. Stability and conditioning in Numerical Analysis. ICNAAM - 2005 Extended Abstracts, Wiley-VCH, 2005, pp. 25-28.

[P3] F.Iavernaro, D.Trigiante. On some conservation properties of the trapezoidal method applied to Hamiltonian systems. ICNAAM - 2005 Extended Abstracts, Wiley-VCH, 2005, pp. 254-257.

[P4] F.Mazzia, A.Sestini, D.Trigiante. Smooth spline collocation for BVPs. ICNAAM - 2005 Extended Abstracts, Wiley-VCH, 2005, pp. 650-653.

[P5] J.Cash, F.Mazzia, D.Trigiante. Hybrid mesh selection algorithms, based on conditioning, for two-point boundary value codes. ICNAAM - 2005 Extended Abstracts, Wiley-VCH, 2005, pp. 654-657.

[P6] L.Aceto, R.Pandolfi, D.Trigiante. Conservation of polynomial type and the stability problem for Linear Multistep Methods. ICNAAM - 2005 Extended Abstracts, Wiley-VCH, 2005, pp. 834-837.


LAVORI SOTTOMESSI PER LA PUBBLICAZIONE SU RIVISTE INTERNAZIONALI
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[S1] L. Aceto, R. Pandolfi. “Theoretical analysis of the stability for Extended Trapezoidal Rules”, (sottomesso per la pubblicazione).

[S2] P.Amodio, L.Brugnano. “Parallel solution in time of ODEs: some achievements and perspectives”, (sottomesso per la pubblicazione).

[S3] L.Brugnano, C.Magherini. “Linear Analysis of Convergence for Splittings for Solving ODE problems”, (sottomesso per la pubblicazione).

[S4] F.Iavernaro, D.Trigiante. “Discrete Mathematics, Discrete Physics and Numerical Methods ”, (sottomesso per la pubblicazione).

[S5] F.Mazzia, A.Sestini, D.Trigiante. “The continuous extension of the BS linear multistep methods on non-uniform meshes”, (sottomesso per la pubblicazione).


RAPPORTI INTERNI
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[R1] L. Aceto, A. Sestini, Sufficient conditions for well-conditioning of 4-banded matrices, Rapporto Tecnico n. 15/2006, Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Firenze


ORGANIZZAZIONE DI CONFERENZE INTERNAZIONALI
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[C1] "International Workshop on the Technological Aspects of Mathematics II: Computational Methods and Mathematical Software", Montecatini Terme (PT), 1-3 Aprile 2004 (Organizzatori: L.Brugnano, F.Mazzia).

[C2] “SciCADE 2007 International Conference on SCIentific Computation And Differential Equations”, che si terrà a Saint-Malo (F) nei prossimi 9-13 luglio, 2007 (organizzatore, in collaborazione con la prof.ssa F.Mazzia, responsabile scientifico dell’u.o. di Bari, dei minisimposi “Software Issues” e "Software Isuues II").


ORGANIZZAZIONE DI WORKSHOP NAZIONALI
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[W1] Workshop su "Metodi Numerici e Software Matematico", Montecatini Terme (PT), 31 gennaio-1 febbraio 2005 (Organizzatore: L.Brugnano}.


PRESENTAZIONI A CONFERENZE INTERNAZIONALI
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[T1] "International Workshop on the Technological Aspects of Mathematics II: Computational Methods and Mathematical Software", Montecatini Terme (PT), 1-3 Aprile 2004 (A.Sestini, contributed talk).

[T2] "Eleventh International Congress on Computational and Applied Mathematics - ICCAM 2004", Leuven (Belgio) 26-30 luglio 2004. (L.Brugnano, invited talk);

[T3] "International Conference on Scientific Computation and Differential Equations (SCICADE05)", Nagoya (Giappone), 23-27 Maggio 2005 (C.Magherini, contributed talk).

[T4] "International Conference Numerical Analysis: the State of the Art", Cosenza, 19-21 Giugno 2005 (D.Trigiante, pleary speaker).

[T5] "International Conference on Difference Equations, Special Functions and Applications", Munich (Germania) 25-30 Luglio 2005 (D.Trigiante, plenary speaker).

[T6] "International Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics. ICCNAM 2005", Rhodes (Grecia) 16-20 Settembre 2005 (D.Trigiante, plenary speaker).

[T7] "International Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics. ICCNAM 2005", Rhodes (Grecia) 16-20 Settembre 2005 (A.Sestini, contibuted talk in a minisymposium).

[T8] “Third International UnTRIM Workshop”, Trento 15-17 maggio 2006 (L.Brugnano, invited talk).

[T9] “3rd International Symposium: Problemi attuali dell'analisi e della Fisica Matematica”, Taormina, 29 Giugno, 1 Luglio, 2006 (D.Trigiante, plenary talk).

[T10] “11th Seminar "NUMDIFF" on Numerical Solution of Differential and Differential-Algebraic Equations”, Halle (Germania) 4-8 settembre 2006 (L.Brugnano, plenary talk).

[T11] “11th Seminar "NUMDIFF" on Numerical Solution of Differential and Differential-Algebraic Equations”, Halle (Germania) 4-8 settembre 2006 (A.Sestini, contributed talk).

PRODOTTI DELLA RICERCA
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1) 19 pubblicazioni scientifiche su riviste a diffusione internazionale (il loro elenco e' riportato al precedente punto 8, "Descrizione della ricerca eseguita e dei risultati ottenuti");

2) 6 pubblicazioni su proceedings di convegni internazionali (il loro elenco e' riportato al precedente punto 8, "Descrizione della ricerca eseguita e dei risultati ottenuti");

3) 5 lavori sottomessi per la pubblicazione su riviste a diffusione internazionale (il loro elenco e' riportato al precedente punto 8, "Descrizione della ricerca eseguita e dei risultati ottenuti");

4) 11 presentazioni a convegni internazionali (il loro elenco e' riportato al precedente punto 8, "Descrizione della ricerca eseguita e dei risultati ottenuti");

5) Pubblicazione (nell’aprile 2005) della release 2.0 del codice di calcolo BiM per ODE-IVPs di tipo stiff , disponibile sul web al sito: http://www.math.unifi.it/~brugnano/BiM/index.html

6) Pubblicazione (in ottobre 2005) della release 1.0 del codice di calcolo BiMD per la risoluzione di ODE-IVPs di tipo stiff e DAE linearmente implicite fino a indice 3, disponibile sul web al sito: http://www.math.unifi.it/~brugnano/BiM/index.html

7) Pubblicazione (in luglio 2006) della release 1.1 del codice BiMD descritto al punto 6);

8) Pubblicazione (in settembre 2006) della release 1.1.1 del codice BiMD descritto al punto 6);

9) La dott.ssa Magherini ha attivamente contribuito alla stesura della release 2.3 del “Test Set dor IVP Solvers”, sotto la supervisione della proff.ssa F.Mazzia, coordinatore scientifico dell’ u.o. di Bari. Il Test Set for IVP Solvers” è disponibile sul web al sito: http://pitagora.dm.uniba.it/~testset/

Si ritiene opportuno sottolineare che il codice BiMD (di cui ai punti 6-7-8) e' da annoverarsi tra i piu' efficienti e robusti codici di calcolo attualmente disponibili per la risoluzione numerica di problemi ai valori iniziali per equazioni differenziali ordinarie di tipo stiff, ed equazioni differenziali algebriche linearmente implicite fino ad indice 3. Ad oggi (dicembre 2006) la pagina del codice e' stata visitata oltre 3500 volte, anche da parte di prestigiosi enti di ricerca ed universita' estere.