PROGRAMMA di Matematica I,
Cdl Chimica, Chimica Applicata,
a.a. 2007/2008
Prof.Elena
Comparini, Dott. Francesco Maggi
1. Preliminari
Struttura del sistema dei numeri reali. Numeri naturali, interi, razionali. Numeri irrazionali.
Metodi di risoluzione per equazioni e disequazioni.
Trigonometria.
Vettori nel piano e nello spazio.
2. Successioni.
Le successioni, il loro comportamento, classificazione. Definizione di limite di una successione. Operazioni con i limiti. Forme indeterminate. Confronto. Stime asintotiche. Successioni limitate. Limiti notevoli. Successioni monotòne. Il numero e.
3. Funzioni
Funzione reale di variabile reale e sua rappresentazione cartesiana. Funzioni monotòne. Funzioni invertibili. Funzioni elementari (funzioni lineari, valore assoluto, potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni razionali, funzioni trigonometriche). Funzioni composte.
Definizione di limite di funzioni. Limiti notevoli. Calcolo dei limiti: confronto, permanenza del segno, operazioni con i limiti, forme indeterminate.
Funzioni continue: definizioni, esempi, proprietà. Teorema dell’esistenza degli zeri. Massimi e minimi assoluti. Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi.4. Derivate.
Rapporto incrementale. Definizione di derivata. Significato geometrico della derivata. Equazione della retta tangente al grafico di una funzione. Derivabilità e continuità. Punti angolosi, cuspidi.
Calcolo delle derivate. Derivate delle funzioni elementari. Derivata di somma, prodotto, quoziente di funzioni. Derivata delle funzioni composte. Derivata delle funzioni inverse.
Punti stazionari, massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat. Teorema del valor medio o di Lagrange . Funzioni crescenti e decrescenti. Criterio di monotonia. Funzioni convesse e concave. Flessi. Asintoti orizzontali, verticali, obliqui. Studio del grafico di una funzione.
Differenziale e approssimazione lineare. Formula di Taylor-MacLaurin di ordine n.
Approssimazioni. Resto
di Peano e resto di Lagrange.
5. Integrali.
Integrale come limite di somme. Integrali definiti. Proprietà. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive. Caratterizzazione delle primitive in un intervallo. Integrali indefiniti.
Metodi di integrazione per scomposizione, per parti, per sostituzione.
Integrali generalizzati. Funzioni integrali. Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale.
6. Equazioni
Differenziali
Equazioni del primo ordine. Equazioni a variabili separabili. Problema di Cauchy. Equazioni lineari del primo ordine.
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