Programma di Metodi Matematici e Statistici
Laurea Magistrale in Scienze Chimiche
anno accademico 2009-2010, primo semestre
Prof. Elena Comparini

I. Equazioni differenziali ordinarie

• Definizione di soluzione;
• Curve soluzioni e campi di direzione;
• Problemi ai valori iniziali;
• Equazioni integrabili;
• Sistemi del primo ordine; oscillazioni in sistemi chimici;
• Piano delle fasi;
• Sistemi lineari;
• Stabilità dei sistemi del primo ordine;
• Problemi ai limiti.

II. Analisi complessa

• Numeri complessi. Operazioni con i numeri complessi.
• Funzioni complesse di variabile complessa. Serie numeriche. Serie di funzioni. Definizione delle funzioni elementari.
• Limiti, continuità. Differenziabilità. Funzioni olomorfe.
• Integrazione in campo complesso; proprietà degli integrali. Teorema integrale di Cauchy. Formula integrale di Cauchy.
• Funzioni analitiche; proprietà. Prolungamento analitico. Zeri. Punti singolari.
• Residui integrali. Serie bilatere. Serie di Laurent. Teorema dei residui.

III. Cenni di analisi funzionale

• Spazi lineari;
• Spazi di Banach;
• Operatori lineari;
• Spazi di Hilbert;
• Sistemi ortonormali;
• Polinomi ortonormali classici. Prima equazione di Scroedinger

IV. Equazione a derivate parziali

• Equazione della diffusione; equazione delle onde.
• Problemi di Dirichlet unidimensionali; soluzioni a variabili separabili.

V. Cenni di analisi di Fourier

• Sviluppi in serie di Fourier;
• Funzioni periodiche;
• Errore quadratico medio;
• Funzioni generalizzate;
• Trasformata di Fourier.
• Trasformata di Fourier generalizzata.

VI. Cenni di calcolo delle probabilità

• Eventi, spazi campionari;
• Probabilità matematica, probabilità stocastica;
• Calcolo combinatorio;
• Probabilità condizionata, eventi indipendenti, teorema di Bayes;
• Variabili aleatorie, valor medio, varianza;
• Distribuzione normale, di Bernoulli, di Poisson.
• Cammini aleatori e diffusione; processi di Markov.