Le istruzioni ed i commenti: questo è un commento (ALT 7), la cella seguente una istruzione di input (ALT 9).

5 + 7

Per fare eleborare una o più istruzioni premere Shift( Maiusc.) e contemporaneamente INVIO (Enter)

Le parentesi (),{},[] hanno i seguenti utilizzi:
    () usuale priorità, anche annidate.(x+(5+y))
    {} racchiude una lista o vettore e via via matrici etc.
    {{2,3},{4,5}} matrice 2x2
    [] racchiudono argomento/i di una funzione

Operazioni tra vettori:
 A . B  = la  matrice A per la trasposta di B ( tra vettori equivale al prodotto scalare)
 Cross[A,B] =prodotto vettoriale .

{1, 2, -3} . {1, 0, 1}

Cross[{1, 2, -3}, {1, 0, 1}]

Plot[Sin[x (x + 1)], {x, -3, 3}]

Mathematica è sensibile a MAIUSC./min. ed in generale le parole di Mathematica iniziano con la maiuscola, anche se l'utente può usare qualunque grafia.

plot[Sin[x (x + 1)], {x, -3, 3}]

Notare oltre l'avviso di un possibile errore di battitura, l'output ripete l'input non avendo elaborato quest'ultimo

min = 3
max = 3
grafico = Plot[Sin[x (x + 1)], {x, -min, max}]

Si possono definire funzioni:

g[x_] := x^2 + Log[x]

g[1]

gdue[x_][u_, v_] := (x + u)^2 + Log[x + v]

gdue[1][z, w]

Il polimorfismo delle funzioni:

g[x_, u_, v_] := (x + u)^2 + Log[x + v]

g[1]

g[1, u, v]

ParametricPlot3D[{Cos[u], Sin[u], u/3}, {u, 0, 5 Pi/2}]

ParametricPlot3D[{Cos[u] Sin[v], Sin[v] Sin[u], Cos[v]}, {v, 0, 
        Pi}, {u, 0, 5 Pi/2}]

Soluzioni di equazioni

Solve[g[1, u, v] == 2, u]

Solve[g[1, u, v] == 2, v]

La derivazione

D[g[x, y, z], z]

de = D[g[x, y, z], {x, 2}]

L'uso di % o %n per far riferimento all'ultimo output o all'n-esimo output evita di maneggiare il comando ma ad una diversa esecutizione con un ordine diverso porta a risultati diversi dal desiderato.

% /. {x -> 2, y -> 3, z -> 30}

2 - 1/(2 + 30)^2

Funzioni predefinite e pacchetti

Le  sintassi delle funzioni predefinite in Mathematica con le varie possibili opzioni si possono ricavare da  Help/Master Index, l'inconveniente è che occorre conoscere almeno la prima parte della funzione (incremental search).
Alcune funzioni vengono caricate solo "importando" particolari pacchetti; per es.

<< Graphics`ImplicitPlot`

ImplicitPlot[x^2 + y^8 == 4, {x, -3, 3}]

Il vantaggio di "tagliare" ed "incollare" dall'Help il comando per inserimento pacchetto evita errori di battitura ed il problema dell'accento utilizzato (alt 96) che non compare su tastiera italiana.

Un elenco di funzioni predefinite in Mathematica  usate nel contesto di geometria differenziale:

ImplicitPlot[{(x^2 + y^2)^2 == (x^2 - 
              y^2), (x^2 + y^2)^2 == 2 x y}, {x, -2, 2}, 
      PlotStyle -> {Dashing[{ .03}], RGBColor[1, 0, 0]}]

ParametricPlot[{4  Sin[φ], 
        3  Cos[φ]}, {φ, -π, Pi/2}]

Esempio di situazioni particolari del teorema delle funzioni implicite.

D[(x^2 + y^2)^2 - (x ^2 - y^2), x] /. {x -> 0, 
        y -> 0}

D[(x^2 + y^2)^2 - (x ^2 - y^2), y] /. {x -> 0, 
        y -> 0}

fun = Solve[(x^2 + y^2)^2 == (x ^2 - y^2), y]

yy[t_] := (y /. fun[[3]]) /. x -> t

yy[z]

% /. z -> 0

D[yy[z], z]

ParametricPlot3D[{4  Sin[φ], 
        3  Cos[φ],  φ}, {φ, -π, 
        Pi 2}]

Per le superfici

toro[a_, b_][u_, 
        v_] := {(b + a Sin[u]) Cos[v], (b + a Sin[u]) Sin[v], 
        a Cos[u]}

ParametricPlot3D[toro[1, 3][u, v], {u, 0, 3 Pi/2}, {v, 0, 2 Pi}, 
      AxesLabel -> {x, y, z}, Ticks -> None]

Il toro colorato i modo da distinguere punti ellittici, parabolici o iperbolici (rossi,gialli,verdi).
(Rimandiamo all'Help per sintassi e spiegazioni)

sett[u_] := 
      Which[Sin[u] == 0, 0.166, Sin[u] < 0,  .33, Sin[u] > 0, 
        0.96]

a = 1
b = 3

ParametricPlot3D[{(b + a Sin[u]) Cos[v], (b + a Sin[u]) 
          Sin[v], a Cos[u], SurfaceColor[Hue[sett[u], 1, 1]]}, {u, 
        0 +  .3, -3 Pi/2 -  .5}, {v, 0, 2 Pi}, 
      AxesLabel -> {x, y, z}, Ticks -> None]

Programmazione

Module[{variabili locali}, istruzioni(; elimina output)]

giorgio = 7

newgiorgio[x_] := 
      Module[{giorgio}, giorgio = 18; 
Print[giorgio]; 
        Return[x + giorgio]]

newgiorgio[3]

giorgio

Animazione

Caddeo-Gray pag. 78

cycloid[a_, b_][t_] :=  {a t  -  b Sin[t], 
        a  -  b Cos[t]}

\(\(\(
\)\(wheel[
        t_] := {{RGBColor[0.8, 0.8, 1], 
          Disk[{t, 1}, 3]}, 
\ \ \ \ {RGBColor[0.5, 0.5, 1], 
          Disk[{t, 1}, 1]}, 
\ \ \ \ {AbsolutePointSize[3], 
          Point[{t, 1}]}, 
\ \ \ \ {AbsoluteThickness[2], 
          Circle[{t, 1}, 1], 
\ \ \ \ Circle[{t, 1}, 
            3], 
\ \ \ \ Line[{{t, 1}, \(cycloid[1, 3]\)[
                t]}]}, 
\ \ \ \ {AbsoluteThickness[1], 
          Line[{{\(-3\) Pi, 0}, {3  Pi, 0}}]}}\)\)\)

\(\(proplot[a_] := 
        ParametricPlot[\(cycloid[1, 3]\)[t] // 
            Evaluate, 
\ \ \ \ {t, \(-3\) Pi, 3  Pi}, 
          PlotStyle -> {{AbsoluteThickness[1]}}, 
\ \ \ \ AspectRatio -> 
            Automatic, 
\ \ \ \ PlotRange -> {{\(-4\) Pi, 4  Pi}, 
              Automatic}, 
          Axes -> None, 
\ \ \ \ Prolog -> wheel[a]];\)\)

elenco = 
      Table[proplot[aa], {aa, - 3 Pi, 3 Pi, Pi/32}]

Do[proplot[aa], {aa, - 3 Pi, 3 Pi, Pi/32}];

<< Graphics`Animation`

ShowAnimation[elenco]

Per compattare tutti i grafici sotto il primo= doppio click per raggruppare dopo averli selezionati poi 
C-y per animazione,
 la parametrizzazione non presenta problemi: per t= 2 π ovviamente si e' percorsa una circonferenza e quindi l'ordinata e' a-b, mentre l'ascissa risulta 2a π, la prima componente e' ottenibile  dalla somma del vettore centro ( a t, a) e del vettore raggio della circonferenza dato da
  (b cos(-t-π/2),b sen(-t-π/2))