Le superficie differenziabili

(Appunti per il corso di geometria III)

Vincenzo Ancona

1. Notazioni

Data una funzione di piu’ variabili f(x, y, …) denoteremo spesso le derivate parziali con i simboli f_{x} = ∂f/∂x, f_{y} = ∂f/∂y, f_{xx} = ∂^{2}f/∂x^{2}, f_{xy} = ∂^{2}f/∂x∂y, ⋯ e analogamente se P = P (u, v, …) = x(u, v, …)i + y(u, v, …)j + z(u, v, …)k e’ un vettore dipendente dai parametri (u, v, …) porremo come d’uso P_{u} = ∂P/∂u, P_{v} = ∂P/∂v, P_{uu} = ∂^{2}P/∂u^{2} ⋯

2. Superficie differenziabili.

Definizione 2.1. Una superficie differenziabile e’ un’applicazione

P (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) : D → R^{3}

ove D e’ un dominio di R^{2}, e x(u, v), y(u, v), z(u, v) sono funzioni differenziabili che soddisfano le seguenti proprieta’:

1) la matrice Jacobiana

J(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = [ \begin{matrix}\frac{∂x}{∂u}(u, v) & \frac{∂y}{∂u}(u, v) & \frac{∂z}{∂u}(u, v) \\ \frac{∂x}{∂v}(u, v) & \frac{∂y}{∂v} (u, v) & \frac{∂z}{∂v} (u, v) \end{matrix} ]  (2.1)

ha rango massimo in ogni punto (u, v) di D;

2) l’applicazione P (u, v) e’ genericamente iniettiva.

Per abuso di linguaggio chiameremo superficie (differenziabile regolare) l’insieme S ⊂ R^{3} immagine dell’applicazione P (u, v). Inoltre ammetteremo applicazioni P (u, v) per cui la matrice Jacobiana (2.1) ha rango massimo tranne eventualmente in un numero finito di punti di D; in tal caso i punti ove il rango non e’ massimo saranno detti singolari, quelli in cui e’ massimo regolari, e sara’ inteso che ci interesseremo solo ai punti regolari.

Per semplicita’ parleremo di superfici invece che di superfici differenziabili. Inoltre scriveremo in breve le equazioni di una superficie S

\{ \begin{matrix}x = x(u, v) \\ y = y(u, v) \\ z = z(u, v) \end{matrix}  (2.2)

o anche, in forma vettoriale:

P = P (u, v) = x(u, v)i + y(u, v)j + z(u, v)k.

La proprieta’ (2.1) della definizione equivale alla seguente: i vettori P_{u} = P_{u}(u, v) = x_{u}(u, v)i + y_{u}(u, v)j + z_{u}(u, v)k e P_{v} = P_{v}(u, v) = x_{v}(u, v)i + y_{v}(u, v)j + z_{v}(u, v)k sono linearmente indipendenti per ogni (u, v) ∈ D. Le equazioni (2.2) o equivalentemente l’applicazione P (u, v) si dicono una parametrizzazione della superficie, e u, v vengono detti parametri. Un cambiamento (ammissibile) di parametrizzazione consiste in un’applicazione differenziabile ϕ : D′ → D ove D′ e’ un dominio di R^{2} tale che la composizione P ∘ ϕ : D′ → R^{3} soddisfi ancora le proprieta’ 1) e 2) della definizione 2.1. Se ϕ(ξ, η) = (u(ξ, η), v(ξ, η)), la parametrizzazione P ∘ ϕ e’ ammissibile se e solo se ϕ ammette un’inversa differenziabile, e quindi (per il teorema della funzione inversa ) se e solo se la matrice Jacobiana

J(u(ξ, η), v(ξ, η)) = [ \begin{matrix}\frac{∂u}{∂ξ}(ξ, η) & \frac{∂v}{∂ξ} (ξ, η) \\ \frac{∂u}{∂η}(ξ, η) & \frac{∂v}{∂η} (ξ, η) \end{matrix} ]  (2.3)

ha rango massimo in ogni punto (ξ, η) di D′.

Nello studio di una superficie saremo interessati prevalentemente alle proprieta’ invarianti per cambiamenti di parametrizzazione.

Esempi di superficie.

1) Il piano per un punto P_{0} ≡ (x_{0}, y_{0}, z_{0}) parallelo a due vettori indipendenti di componenti (l, m, n) e (l′, m′, n′) ha equazioni parametriche

\{ \begin{matrix}x = x_{0} + lu + l′v \\ y = y_{0} + mu + m′v \\ z = z_{0} + nu + n′v \end{matrix}  (2.4)

e la matrice Jacobiana e’

[ \begin{matrix}l & m & n \\ l′ & m′ & n′ \end{matrix} ]  (2.5)

che ha rango massimo perche’ i vettori riga sono indipendenti.

2) Sia S una sfera di centro l’origine O e raggio r. Sia P ≡ (x, y, z) un punto di S, e denotiamo con Q ≡ (x, y) la sua proiezione sul piano (x, y). Sia v l’angolo orientato che l’asse delle x forma con la retta OQ e u l’angolo orientato che la retta OQ forma con la retta OP. Ne segue \overline{OQ} = \overline{OP} cos u = r cos u e z = \overline{OP} sin u = r sin u. Inoltre x = \overline{OQ} cos v, y = \overline{OQ} sin v. In conclusione le equazioni parametriche della sfera sono

\{ \begin{matrix}x = r cos u cos v \\ y = r cos u sin v \\ z = r sin u \end{matrix}  (2.6)

Si lascia al lettore di scrivere la corrispondente matrice jacobiana, in base alla quale si verifica che la parametrizzazione (2.6) e’ regolare tranne che per u = ±π/2, cioe’ i due poli N_{1} ≡ (0, 0, 1) e N_{2} ≡ (0, 0, −1) sono punti singolari per la precedente parametrizzazione. E’ pero’ da osservare che si tratta di punti singolari apparenti, in quanto altre parametrizzazioni (ad esempio scambiando il ruolo dei tre assi) rendono regolari i punti N_{1} e N_{2}.

3) L’esempio precedente suggerisce equazioni parametriche per un ellissoide di equazione cartesiana \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1 :

\{ \begin{matrix}x = a cos u cos v \\ y = b cos u sin v \\ z = c sin u \end{matrix}  (2.7)

per un iperboloide a una falda di di equazione cartesiana \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} − \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1 :

\{ \begin{matrix}x = a cosh u cos v \\ y = b cosh u sin v \\ z = c sinh u \end{matrix}  (2.8)

per un iperboloide a due falde di di equazione cartesiana \frac{x^{2}}{a^{2}} − \frac{y^{2}}{b^{2}} − \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1 :

\{ \begin{matrix}x = a cosh u cosh v \\ y = b cosh u sinh v \\ z = c sinh u \end{matrix}  (2.9)

(questa parametrizzazione descrive solo una delle due componenti dell’iperboloide, quella contenuta nel semispazio x > 0; si ricordi infatti che il cosh e’ sempre ≥ 1); infine le equazioni parametriche di un paraboloide ellittico z = \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} e di un paraboloide a sella z = \frac{x^{2}}{a^{2}} − \frac{y^{2}}{b^{2}} sono rispettivamente

\{ \begin{matrix}x = u \\ y = v \\ z = \frac{u^{2}}{a^{2}} + \frac{v^{2}}{b^{2}} \end{matrix}  (2.10)

e

\{ \begin{matrix}x = u \\ y = v \\ z = \frac{u^{2}}{a^{2}} − \frac{v^{2}}{b^{2}} \end{matrix}  (2.11)

4) Gli ultimi due esempi sono un caso particolare di grafici di funzioni di due variabili; infatti il grafico di una funzione z = f(x, y) ha equazioni parametriche

\{ \begin{matrix}x = u \\ y = v \\ z = f(u, v) \end{matrix}  (2.12)

e’ facile calcolare la matrice jacobiana e verificare che tutti i punti sono regolari.

5) Superficie di rotazione. Sono le superficie descritte da una curva regolare C (detta curva profilo) posta sul piano (y, z), al ruotare di quest’ultimo intorno all’asse z. Se y = α(u), z = β(u) sono le equazioni parametriche di C, un punto P della superficie S si ottiene da uno e un solo punto P_{0} di C al ruotare del piano (y, z); detto v l’angolo di rotazione, si avra’ x(P) = y(P_{0}) cos v, y(P) = y(P_{0}) sin v, z(P) = z(P_{0}), pertanto le equazioni parametriche di S sono:

\{ \begin{matrix}x = α(u) cos v \\ y = α(u) sin v \\ z = β(u) \end{matrix}  (2.13)

in particolare se C e’ una retta parallela all’asse z di equazioni y = r, z = u si ottengono le equazioni del cilindro circolare retto:

\{ \begin{matrix}x = r cos v \\ y = r sin v \\ z = u \end{matrix}  (2.14)

se C e’ una retta per l’origine nel piano (y, z), non parallela ne’ all’asse y ne’ all’asse z, di equazioni y = au, z = bu si ottiene un cono circolare retto di vertice l’origine:

\{ \begin{matrix}x = au cos v \\ y = au sin v \\ z = bu \end{matrix}  (2.15)

infine se C e’ un cerchio di raggio r contenuto nel semipiano y > 0 del piano (y, z), di centro il punto (a, 0), si ha α(u) = a + r cos u, β(u) = r sin u, e la superficie di rotazione si chiama toro, che ha dunque equazioni

\{ \begin{matrix}x = (a + r cos u) cos v \\ y = (a + r cos u) sin v \\ z = r sin u \end{matrix}  (2.16)

si osservi che anche le equazioni (2.6) di una sfera si possono ottenere per rotazione di un semicerchio del piano (y, z), di centro il punto (0, 0) e contenuto nel semipiano y ≥ 0. Si osservi che la matrice jacobiana della parametrizzazione (2.13) e’

J = [ \begin{matrix}α′(u) cos v, & α′(u) sin v & β′(u) \\ −α(u) sin v & α(u) cos v & 0 \end{matrix} ]  (2.17)

e poiche’ C e’ una curva regolare, (α′(u), β′(u)) ≠ (0, 0) e dunque si vede facilmente che (u, v) individua un punto regolare tranne che nel caso α(u) = 0; vale a dire che i punti singolari sono i punti d’intersezione della curva C con l’asse delle z. In particolare tutti i punti del cilindro e del toro sono regolari, mentre nel caso del cono l’unico punto singolare e’ il vertice.

6) Si consideri una superficie definita da un’equazione cartesiana:

S = {(x, y, z) ∈ R^{3} : g(x, y, z) = 0},  (2.18)

ove g e’ una funzione differenziabile di 3 variabili. E’ noto che se una delle tre derivate parziali di g, per esempio \frac{∂g}{∂z}, e’ diversa da zero in un punto (x_{0}, y_{0}, z_{0}) ∈ S, allora esiste una funzione differenziabile f(x, y), definita nelle vicinanze del punto (x_{0}, y_{0}), tale che (nelle vicinanze del punto (x_{0}, y_{0}, z_{0})) l’equazione g(x, y, z) = 0 e’ verificata se e solo se z = f(x, y). Pertanto nelle vicinanze del punto (x_{0}, y_{0}, z_{0}) S e’ una superficie differenziabile regolare, di equazioni parametriche (2.12). Inoltre si ha l’identita’

g(x, y, f(x, y)) ≡ 0

che, derivata rispetto a x e a y da’ rispettivamente \frac{∂g}{∂x} + \frac{∂g}{∂z} \frac{∂f}{∂x} ≡ 0, \frac{∂g}{∂y} + \frac{∂g}{∂z} \frac{∂f}{∂y} ≡ 0, da cui

\frac{∂f}{∂x} = −\frac{∂g}{∂x}/\frac{∂g}{∂z} , \frac{∂f}{∂y} = −\frac{∂g}{∂y} /\frac{∂g}{∂z}  (2.19)

3. Vettori tangenti a una superficie.

Sia S una superficie definita dalle equazioni (2.2).

Definizione 3.1. Una curva tracciata sulla superficie S e’ una curva C nello spazio ottenuta come immagine tramite P (u, v) : D → R^{3} di una curva differenziabile C_{0} nel dominio D

Precisamente se

\{ \begin{matrix}u = u(t) \\ v = v(t) \end{matrix}  (3.1)

sono le equazioni della curva C_{0} nel piano (u, v), le equazioni della curva C tracciata su S sono

\{ \begin{matrix}x = x(u(t), v(t)) \\ y = y(u(t), v(t)) \\ z = z(u(t), v(t)) \end{matrix}

ovvero, in forma vettoriale:

P = P (u(t), v(t))  (3.2)

E’ evidente che C ⊂ S.

Fissiamo un punto (regolare) P_{0} = P (u_{0}, v_{0}) ∈ S. La curva C tracciata su S passa per P_{0} se u_{0} = u(t_{0}), v_{0} = v(t_{0}) per un opportuno t_{0}.

Definizione 3.2. Un vettore v dello spazio si dice tangente a S in P_{0} se esiste una curva C tracciata su S, e passante per P_{0}, tale che v e’ tangente a C in P_{0}.

Proposizione 3.3. L’insieme dei vettori tangenti a una superficie S in un suo punto P_{0} e’ uno spazio vettoriale di dimensione 2, di cui i vettori P_{u}(u_{0}, v_{0}) e P_{v}(u_{0}, v_{0}) costituiscono una base. Tale spazio sara’ denotato T_{P_{0}}S e sara’ detto spazio tangente a S in P_{0}.

Bastera’ provare che i vettori P_{u}(u_{0}, v_{0}) e P_{v}(u_{0}, v_{0}) sono linearmente indipendenti, e che un vettore e’ tangente a S in P_{0} se e solo se e’ una loro combinazione lineare. Le componenti di P_{u}(u_{0}, v_{0}) e P_{v}(u_{0}, v_{0}) sono le righe della matrice Jacobiana (2.1) valutata nel punto (u_{0}, v_{0}), che ha rango massimo per definizione; quindi i due vettori sono linearmente indipendenti.

Sia v un vettore tangente a S in P_{0}. Per definizione esiste una curva C tracciata su S, di equazioni (3.1) che passa per P_{0} (e cioe’ u_{0} = u(t_{0}), v_{0} = v(t_{0}) per un opportuno t_{0}), tale che v sia tangente a C in P_{0}. Ne segue

v = \frac{d}{dt}P (u(t), v(t))|_{t=t_{0}} = P_{u}(u_{0}, v_{0})\frac{du}{dt}(t_{0}) + P_{v}(u_{0}, v_{0})\frac{dv}{dt} (t_{0})  (3.3)

cioe’ v e’ combinazione lineare di P_{u}(u_{0}, v_{0}) e P_{v}(u_{0}, v_{0}). Viceversa supposto che un vettore v sia combinazione lineare di P_{u}(u_{0}, v_{0}) e P_{v}(u_{0}, v_{0}):

v = v_{1}P_{u}(u_{0}, v_{0}) + v_{2}P_{v}(u_{0}, v_{0}),

si deve trovare una curva C tracciata su S e passante per P_{0}, tale che v sia tangente a S in P_{0}. Cerco cioe’ due funzioni differenziabili u = u(t), v = v(t) tali che per un certo t_{0}

u(t_{0}) = u_{0}, v(t_{0}) = v_{0}, \frac{du}{dt}(t_{0}) = v_{1}, \frac{dv}{dt} (t_{0}) = v_{2};

si puo’ porre per esempio u = v_{1}t + u_{0}, v = v_{2}t + v_{0}, t_{0} = 0.

Le curve definite da u = costante e v = costante, prendono il nome di linee coordinate (corrispondenti alla parametrizzazione utilizzata); il vettore P_{u}(u, v_{0}) e’ tangente alla linea coordinata v = costante = v_{0}, il vettore P_{v}(u_{0}, v) e’ tangente alla linea coordinata u = costante = u_{0}. Nel caso di una superficie di rotazione (2.13), le linee coordinate sono rispettivamente i paralleli e i meridiani.

Diremo piano tangente a S in P_{0} il piano per P_{0} parallelo a tutti i vettori tangenti a S in P_{0}. Dunque e’ il piano per P_{0} parallelo a P_{u}(u_{0}, v_{0}) e P_{v}(u_{0}, v_{0}), pertanto se P_{0} ≡ (x_{0}, y_{0}, z_{0}), le sue equazioni sono

det [ \begin{matrix}x − x_{0} & y − y_{0} & z − z_{0} \\ x_{u}(u_{0}, v_{0}) & y_{u}(u_{0}, v_{0}) & z_{u}(u_{0}, v_{0}) \\ x_{v}(u_{0}, v_{0}) & y_{v}(u_{0}, v_{0}) & z_{v}(u_{0}, v_{0}) \end{matrix} ] = 0  (3.4)

Esempi. Si consideri il grafico di una funzione f(x, y), di equazioni parametriche (2.12). si ottiene per il piano tangente in un punto (x_{0}, y_{0}, z_{0}), z_{0} = f(x_{0}, y_{0}) l’equazione

det [ \begin{matrix}x − x_{0} & y − y_{0} & z − z_{0} \\ 1 & 0 & f_{u}(u_{0}, v_{0}) \\ 0 & 1 & f_{v}(u_{0}, v_{0}) \end{matrix} ] = 0

da cui, sviluppando:

z − z_{0} = \frac{∂f}{∂x} (x_{0}, y_{0})(x − x_{0}) + \frac{∂f}{∂y} (x_{0}, y_{0})(y − y_{0})

Se S e’ definita implicitamente dall’equazione (2.18), tenuto conto delle (2.19) si ottiene per il piano tangente in un punto (x_{0}, y_{0}, z_{0}) ∈ S l’equazione ben nota (almeno nel caso delle quadriche):

\frac{∂g}{∂x}(x_{0}, y_{0}, z_{0})(x − x_{0}) + \frac{∂g}{∂y} (x_{0}, y_{0}, z_{0})(y − y_{0}) + \frac{∂g}{∂z} (x_{0}, y_{0}, z_{0})(z − z_{0}) = 0

Diremo versore normale a S in P_{0}, e lo indicheremo con N = N(u_{0}, v_{0}), il versore del vettore P_{u}(u_{0}, v_{0}) ∧ P_{v}(u_{0}, v_{0}). Quindi e’ un versore ortogonale al piano tangente a S in P_{0}, pertanto la sua direzione e’ intrinsecamente determinata dalla superficie, mentre il suo verso dipende dalla parametrizzazione scelta per descrivere la superficie (per esempio scambiando le variabili u e v, N cambia di segno). Dalla definizione segue

N(u_{0}, v_{0}) = \frac{P_{u}(u_{0}, v_{0}) ∧ P_{v}(u_{0}, v_{0})}{∥P_{u}(u_{0}, v_{0}) ∧ P_{v}(u_{0}, v_{0})∥}  (3.5)

4. Prima forma quadratica fondamentale.

Si consideri una curva C tracciata sulla superficie S, di equazioni (3.1) e calcoliamone l’ascissa curvilinea:

(\frac{ds}{dt})^{2} = \frac{dP}{dt} · \frac{dP}{dt} = (P_{u} \frac{du}{dt} + P_{v} \frac{dv}{dt}) · (P_{u} \frac{du}{dt} + P_{v} \frac{dv}{dt}) =

= (P_{u} · P_{u})(\frac{du}{dt})^{2} + 2(P_{u} · P_{v})\frac{du}{dt} \frac{dv}{dt} + (P_{v} · P_{v})(\frac{dv}{dt})^{2}

Poniamo

\{ \begin{matrix}E = E(u, v) = P_{u} · P_{u} \\ F = F (u, v) = P_{u} · P_{v} \\ G = G(u, v) = P_{v} · P_{v} \end{matrix}  (4.1)

E’ chiaro che E, F, G sono funzioni che dipendono solo dalla superficie e non dalla curva C tracciata su di essa.

Ne segue

(\frac{ds}{dt})^{2} = E(\frac{du}{dt})^{2} + 2F \frac{du}{dt} \frac{dv}{dt} + G(\frac{dv}{dt})^{2}  (4.2)

Formalmente definiremo prima forma quadratica fondamentale (in breve 1^{a} f.q.f.) la forma quadratica

Edu^{2} + 2F dudv + Gdv^{2}

per cui la (4.2) puo’ scriversi

ds^{2} = Edu^{2} + 2F dudv + Gdv^{2}  (4.3)

la quale deve intendersi come una scrittura formale la quale, ’divisa’ per dt^{2}, da’ la (4.2). La 1^{a} f.q.f. e’ definita positiva a causa della (4.2), poiche’ evidentemente (\frac{ds}{dt})^{2} e’ sempre strettamente positivo. La matrice della 1^{a} f.q.f. e’ data da

[ \begin{matrix}E & F \\ F & G \end{matrix} ]  (4.4)

il cui determinante e’ dunque positivo:

EG − F^{2} > 0.  (4.5)

Si noti che se v = v_{1}P_{u}(u_{0}, v_{0}) + v_{2}P_{v}(u_{0}, v_{0}) e w = w_{1}P_{u}(u_{0}, v_{0}) + w_{2}P_{v}(u_{0}, v_{0}) sono due vettori tangenti alla superficie S in un punto P_{0} = P (u_{0}, v_{0}), si ha v · w = (v_{1}P_{u}(u_{0}, v_{0}) + v_{2}P_{v}(u_{0}, v_{0})) · (w_{1}P_{u}(u_{0}, v_{0}) + w_{2}P_{v}(u_{0}, v_{0})) e quindi

v · w = E(u_{0}, v_{0})v_{1}w_{1} + F (u_{0}, v_{0})(v_{1}w_{2} + v_{2}w_{1}) + G(u_{0}, v_{0})v_{2}w_{2}  (4.6)

vale a dire: il prodotto scalare definito sullo spazio tangente T_{P_{0}}S dalla 1^{a} f.q.f. coincide col prodotto scalare euclideo.

Si osservi che dalla definizione (4.1) segue

Proposizione 4.1. Si ha F (u, v) = 0 se e solo se le linee coordinate sono ortogonali nel punto P (u, v).

Ad esempio per una superficie di rotazione definita dalle equazioni (2.13), F (u, v) ≡ 0 in quanto paralleli e meridiani sono ortogonali.

5. Area di una superficie.

Si consideri una superficie di equazioni (2.2) definita in un dominio D del piano (u, v), e consideriamo una regione di D compresa fra le rette u = u_{0}, u = u_{1}, v = v_{0}, v = v_{1}. con u_{0} < u_{1}, v_{0} < v_{1}. Cerchiamo (euristicamente, vale a dire in forma intuitiva ma non rigorosa) una formula che esprima l’area della porzione di superficie descritta dalle diseguaglianze u_{0} ≤ u ≤ u_{1}, v_{0} ≤ v ≤ v_{1}.

A tal proposito identifichiamo un elemento infinitesimo dσ dell’ area di S con l’area del parallelogramma infinitesimo del piano tangente, di lati i vettori tangenti infinitesimi P_{u}du e P_{v}dv. Tale area e’ data dal modulo del prodotto esterno dei due vettori, dunque

dσ = ∥P_{u}du ∧ P_{v}dv∥ = ∥P_{u} ∧ P_{v}∥dudv

L’area cercata e’ dunque A = ∫_{u_{0}}^{u_{1}} ∫_{v_{0}}^{v_{1}} ∥P_{u} ∧ P_{v}∥dudv Calcoliamo ora ∥P_{u} ∧ P_{v}∥. Si ricordi l’identita’ vettoriale

(v ∧ w) · (v ∧ w) = (v · v)(w · w) − (v · w)^{2}

dalla quale in base alle (4.1) si ottiene

∥P_{u} ∧ P_{v}∥^{2} = EG − F^{2}  (5.1)

e quindi

A = ∫_{u_{0}}^{u_{1}} ∫_{v_{0}}^{v_{1}} \sqrt{EG − F^{2}} dudv  (5.2)

Per esempio, nel caso particolare di un grafico di equazioni (2.12), si (ri)trova la formula

A = ∫_{x_{0}}^{x_{1}} ∫_{y_{0}}^{y_{1}} \sqrt{1 + (\frac{∂f}{∂x})^{2} + (\frac{∂f}{∂y})^{2}} dxdy

Esercizio. Si calcoli l’area della sfera, utilizzando le equazioni parametriche (2.6) e la formula (5.2).

6. L’operatore di Weingarten.

Sia v un vettore tangente a S in P_{0}. Per definizione esiste una curva C tracciata su S, di equazioni

\{ \begin{matrix}u = u(t) \\ v = v(t) \end{matrix}

che passi per P_{0} (e cioe’ u_{0} = u(t_{0}), v_{0} = v(t_{0}) per un opportuno t_{0}), tale che v sia tangente a C in P_{0}. La derivata

\frac{d}{dt}N(u(t), v(t))|_{t=t_{0}} = N_{u}(u_{0}, v_{0})\frac{du}{dt}(t_{0}) + N_{v}(u_{0}, v_{0})\frac{dv}{dt} (t_{0})  (6.1)

individua un vettore nello spazio che misura la rapidita’ di variazione del vettore normale a S lungo la curva C (in prossimita’ di P_{0}).

Se v = v_{1}P_{u} + v_{2}P_{v}, si ha

\frac{du}{dt}(t_{0}) = v_{1}, \frac{dv}{dt} (t_{0}) = v_{2}

e quindi

\frac{d}{dt}N(u(t), v(t))|_{t=t_{0}} = v_{1}N_{u}(u_{0}, v_{0}) + v_{2}N_{v}(u_{0}, v_{0}).  (6.2)

Ne segue Proposizione 6.1.

1) Se v = v_{1}P_{u} + v_{2}P_{v}, si ha

\frac{d}{dt}N(u(t), v(t))|_{t=t_{0}} = v_{1}N_{u}(u_{0}, v_{0}) + v_{2}N_{v}(u_{0}, v_{0})(t_{0})

e quindi il vettore (6.1) dipende solo da v e non dalla scelta della particolare curva tangente a v in P_{0}.

Porremo dunque per definizione

W_{P_{0}}(v) = −\frac{d}{dt}N(u(t), v(t))|_{t=t_{0}}

(si noti il segno meno!).

L’operatore W_{P_{0}} associa dunque a ogni vettore tangente v ∈ T_{P_{0}}S un vettore W_{P_{0}}(v) dello spazio.

W_{P_{0}} si chiama operatore di Weingarten di S in P_{0}.

Proposizione 6.2.

1) per ogni v ∈ T_{P_{0}}S, W_{P_{0}}(v) ∈ T_{P_{0}}S, cioe’ l’operatore di Weingarten e’ un’applicazione

W_{P_{0}} : T_{P_{0}}S → T_{P_{0}}S

2) W_{P_{0}} e’ lineare, quindi e’ un endomorfismo di T_{P_{0}}S.

Dimostrazione.

1) P_{u}(u_{0}, v_{0}) e P_{v}(u_{0}, v_{0}) sono una base di T_{P_{0}}S, onde basta provare che W_{P_{0}}(P_{u}(u_{0}, v_{0})) e W_{P_{0}}(P_{v}(u_{0}, v_{0})) sono tangenti a S. Per la formula (6.2) si ha W_{P_{0}}(P_{u}(u_{0}, v_{0})) = −N_{u}(u_{0}, v_{0}), W_{P_{0}}(P_{v}(u_{0}, v_{0})) = −N_{v}(u_{0}, v_{0}), dunque bisogna provare che N_{u}(u_{0}, v_{0}) e N_{v}(u_{0}, v_{0}) sono vettori tangenti a S. Utilizziamo l’ identita’

N(u, v) · N(u, v) ≡ 1

che, derivata ripetto a u e v da’ rispettivamente

\{ \begin{matrix}2N_{u}(u, v) · N(u, v) ≡ 0 \\ 2N_{v}(u, v) · N(u, v) ≡ 0 \end{matrix}

che ci dicono appunto che i due vettori N_{u} e N_{v} sono ortogonali a N e quindi sono tangenti a S.

2) La linearita’ di W_{P_{0}} si ricava dalla formula (6.2).

Una proprieta’ importante di W_{P_{0}} e’ la seguente Proposizione 6.3. L’operatore di Weingarten e’ simmetrico (cioe’ autoaggiunto).

Dimostrazione. Si tratta di provare che per ogni coppia di vettori v, w ∈ T_{P_{0}}S si ha

W_{P_{0}}(v) · w = v · W_{P_{0}}(w)

Grazie alla linearita’ di W_{P_{0}}, sara’ sufficiente provare l’eguaglianza nel caso v = P_{u}(u_{0}, v_{0}) e w = P_{v}(u_{0}, v_{0}). Tenuto conto che

\{ \begin{matrix}W_{P_{0}}(P_{u}(u_{0}, v_{0})) = −N_{u}(u_{0}, v_{0}) \\ W_{P_{0}}(P_{v}(u_{0}, v_{0})) = −N_{v}(u_{0}, v_{0}) \end{matrix}  (6.3)

dovremo mostrare che

−N_{u}(u_{0}, v_{0}) · P_{v}(u_{0}, v_{0}) = −P_{u}(u_{0}, v_{0}) · N_{v}(u_{0}, v_{0}).

A tale scopo consideriamo le identita’ (conseguenza del fatto che P_{u} e P_{v} sono ortogonali a N) :

\{ \begin{matrix}P_{u}(u, v) · N(u, v) ≡ 0 \\ P_{v}(u, v) · N(u, v) ≡ 0 \end{matrix}  (6.4)

derivando la prima rispetto a v e la seconda rispetto a u si ottiene

\{ \begin{matrix}P_{uv}(u, v) · N(u, v) + P_{u}(u, v) · N_{v}(u, v) ≡ 0 \\ P_{vu}(u, v) · N(u, v) + P_{v}(u, v) · N_{u}(u, v) ≡ 0 \end{matrix}

da cui

−P_{u}(u, v) · N_{v}(u, v) = P_{uv}(u, v) · N(u, v) = −P_{v}(u, v) · N_{u}(u, v)  (6.5)

che e’ esattamente l’eguaglianza desiderata.

Osserviamo a futura memoria che derivando la prima delle (6.4) rispetto a u e la seconda rispetto a v si ottengono anche le identita’

\{ \begin{matrix}P_{uu}(u, v) · N(u, v) ≡ −P_{u}(u, v) · N_{u}(u, v) \\ P_{vv}(u, v) · N(u, v) ≡ −P_{v}(u, v) · N_{v}(u, v) \end{matrix}  (6.6)

che ci saranno utili in seguito.

Tenuto conto del teorema spettrale reale, possiamo enunciare la

Proposizione 6.4. Esiste una base ortonormale (v_{1}, v_{2}) di T_{P_{0}}S formata di autovettori di W_{P_{0}}; in particolare W_{P_{0}} e’ diagonalizzabile e possiede due autovalori reali λ_{1} e λ_{2} (definiti da W_{P_{0}}(v_{1}) = λ_{1}v_{1}, W_{P_{0}}(v_{2}) = λ_{1}v_{2}).

Osservazione 6.5. Se si cambia la parametrizzazione della superficie S, l’operatore di Weingarten corrispondente alla nuova parametrizzazione coincide col precedente a meno del segno. Precisamente esso cambia di segno se cambia di segno il versore normale. Quindi l’operatore di Weingarten e’ intrinsecamente definito, ma solo a meno del segno.

7. Curvatura normale di una curva tracciata sulla superficie.

Sia P_{0} un punto di S e C una curva tracciata su S e passante per P_{0}, di equazioni (parametrizzate dall’ascissa curvilinea)

\{ \begin{matrix}u = u(s) \\ v = v(s) \end{matrix}

La curva possiede un vettore curvatura dato da

\frac{d^{2}P}{ds^{2}} (s_{0}) = k(s_{0})n

ove n e’ il versore normale alla curva in P_{0} e k(s_{0}) e’ la curvatura in P_{0}.

Definizione 7.1. Si dice curvatura normale della curva C in P_{0}, e si denota con k_{n}(C, P_{0}), la proiezione (con segno) del vettore curvatura \frac{d^{2}P}{ds^{2}} (s_{0}) sul versore normale N(u_{0}, v_{0}) a S in P_{0}. Vale a dire

k_{n}(C, P_{0}) = \frac{d^{2}P}{ds^{2}} (s_{0}) · N(u_{0}, v_{0}) = k(s_{0})n · N(u_{0}, v_{0})  (7.1)

Otteniamo successivamente:

\frac{dP}{ds} = P_{u} \frac{du}{ds} + P_{v} \frac{dv}{ds}

\frac{d^{2}P}{ds^{2}} = \frac{d}{ds}(\frac{dP}{ds} ) = P_{uu}(\frac{du}{ds})^{2} + P_{u} \frac{d^{2}u}{ds^{2}} + 2P_{uv} \frac{du}{ds} \frac{dv}{ds} + P_{vv}(\frac{dv}{ds})^{2} + P_{v} \frac{d^{2}v}{ds^{2}}

da cui, tenuto conto che P_{u} e P_{v} sono ortogonali a N, si ricava

k_{n}(C, P_{0}) = \frac{d^{2}P}{ds^{2}} (s_{0}) · N(u_{0}, v_{0}) = (P_{uu} · N)(\frac{du}{ds})^{2} + 2(P_{uv} · N)\frac{du}{ds} \frac{dv}{ds} + (P_{vv} · N)(\frac{dv}{ds})^{2}

ove nell’ultimo membro abbiamo sottinteso che le varie quantita’ sono calcolate nel punto P_{0} (cosa che spesso faremo anche in seguito).

Poniamo:

\{ \begin{matrix}e = e(u, v) = P_{uu} · N \\ f = f(u, v) = P_{uv} · N \\ g = g(u, v) = P_{vv} · N \end{matrix}  (7.2)

E’ chiaro che e, f, g sono funzioni che dipendono solo dalla superficie e non dalla curva C tracciata su di essa. Ne segue

k_{n}(C, P_{0}) = e(\frac{du}{ds})^{2} + 2f \frac{du}{ds} \frac{dv}{ds} + g(\frac{dv}{ds})^{2}

Se nella descrizione della curva C si utilizza un qualsiasi parametro t in luogo di s, tenuto conto che

(\frac{ds}{dt})^{2} = E(\frac{du}{dt})^{2} + 2F \frac{du}{dt} \frac{dv}{dt} + G(\frac{dv}{dt})^{2}

otteniamo

k_{n}(C, P_{0}) = \frac{e(\frac{du}{dt})^{2} + 2f \frac{du}{dt} \frac{dv}{dt} + g(\frac{dv}{dt})^{2}}{E(\frac{du}{dt})^{2} + 2F \frac{du}{dt} \frac{dv}{dt} + G(\frac{dv}{dt})^{2}}  (7.3)

Formalmente definiremo seconda forma quadratica fondamentale (in breve 2^{a} f.q.f.) la forma quadratica

e(du)^{2} + 2fdudv + g(dv)^{2}

per cui la (7.3) diventa

k_{n}(C, P_{0}) = \frac{2^{a}f.q.f.}{1^{a}f.q.f.}

La formula (7.3) comporta

Proposizione 7.2. La curvatura normale k_{n}(C, P_{0}) di una curva dipende solo dal vettore tangente alla curva in P_{0}. In particolare due curve tracciate su S e tangenti fra di loro in P_{0} hanno stessa curvatura normale in P_{0}.

In effetti la formula (7.3) mette in evidenza che k_{n}(C, P_{0}) dipende solo dai valori di \frac{du}{dt}(t_{0}) e \frac{dv}{dt} (t_{0}), che sono appunto le componenti del vettore tangente a C in P_{0} (corrispondente alla parametrizzazione scelta) nella base P_{u}(u_{0}, v_{0}) e P_{v}(u_{0}, v_{0}).

In base alla proposizione potremo definire la curvatura normale nella direzione di un vettore tangente non nullo v ∈ T_{P_{0}}S con la formula

k_{n}(v) = \frac{ev_{1}^{2} + 2fv_{1}v_{2} + gv_{2}^{2}}{Ev_{1}^{2} + 2F v_{1}v_{2} + Gv_{2}^{2}}  (7.4)

Si osservi che se λ e’ un numero reale non nullo si ha

k_{n}(λv) = k_{n}(v)  (7.5)

Il seguente risultato mette in relazione curvatura normale e operatore di Weingarten:

Teorema 7.3.

1) Vale la formula

k_{n}(v) = \frac{W_{P_{0}}(v) · v}{v · v}  (7.6)

2) Gli autovalori λ_{1} e λ_{2}, di W_{P_{0}} sono un minimo e un massimo della curvatura normale, e inoltre λ_{1} = k_{n}(v_{1}), λ_{2} = k_{n}(v_{2}), ove v_{1} e v_{2} sono gli autovettori.

Dimostrazione.

1) Sia v = v_{1}P_{u} + v_{2}P_{v}; siccome v · v = Ev_{1}^{2} + 2Ev_{1}v_{2} + Gv_{2}^{2}, bastera’ provare l’eguaglianza

W_{P_{0}}(v) · v = ev_{1}^{2} + 2fv_{1}v_{2} + gv_{2}^{2}

Per la (6.3) e per linearita’ si ha W_{P_{0}}(v) = −v_{1}N_{u} − v_{2}N_{v} da cui W_{P_{0}}(v) · v = −(P_{u} · N_{u})v_{1}^{2} − (P_{u} · N_{v} + P_{v} · N_{u})v_{1}v_{2} − (P_{v} · N_{v})v_{2}^{2}. Tenuto conto delle formule (6.5), (6.6), (7.2) arriviamo appunto all’eguaglianza desiderata.

2) Dalla formula (7.6) segue facilmente che k_{n}(v_{1}) = W_{P_{0}}(v_{1}) · v_{1} = λ_{1}v_{1} · v_{1} = λ_{1}; e analogamente k_{n}(v_{2}) = λ_{2}. Possiamo ora supporre per esempio λ_{1} ≤ λ_{2}, e provare che λ_{1} e’ un minimo e λ_{2} un massimo della curvatura normale. Cioe’ si deve provare che per ogni vettore v tangente si ha λ_{1} ≤ k_{n}(v) ≤ λ_{2}. Per la (7.5) si puo’ supporre ∥v∥ = 1, quindi si ha v = a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2} con a_{1}^{2} + a_{2}^{2} = 1. Dalla (7.6) otteniamo k_{n}(v) = λ_{1}a_{1}^{2} + λ_{2}a_{2}^{2} da cui appunto λ_{1} ≤ k_{n}(v) ≤ λ_{2}.

Definizione 7.4. Il minimo e il massimo della curvatura normale in P_{0} (gli autovalori di W_{P_{0}}) si dicono curvature principali di S in P_{0} e si indicano con k_{1} e k_{2}; le direzioni corrispondenti (parallele agli autovettori di W_{P_{0}}) si dicono direzioni principali di S in P_{0}.

In base all’osservazione 6.5 se si cambia la parametrizzazione di S, k_{1} e k_{2} restano invariati oppure cambiano di segno; in quest’ultimo caso massimo e minimo si scambiano tra loro.

Un vettore tangente v ≠ 0 in P_{0} individua una direzione principale se e solo se

W_{P_{0}}(v) ∧ v = 0  (7.7)

in effetti la precedente relazione significa esattamente che W_{P_{0}}(v) e’ parallelo a v, e quindi che v e’ un autovettore di W_{P_{0}}.

Definizione 7.5. Si dice curvatura di Gauss (o gaussiana) di S in P_{0} e si indica con K = K(P_{0}) il determinante di W_{P_{0}} . Si dice curvatura media di S in P_{0} e si indica con H = H(P_{0}) la meta’ della traccia di W_{P_{0}} . Quindi

K = K(P_{0}) = det W_{P_{0}} = k_{1}k_{2}  (7.8)

H = H(P_{0}) = \frac{1}{2} tr W_{P_{0}} = \frac{1}{2} (k_{1} + k_{2})  (7.9)

Si osservi che la curvatura di Gauss e’ definita intrinsecamente, e il suo segno e’ indipendente dalla parametrizzazione scelta per S; un cambiamento di parametrizzazione puo’ cambiare il segno di k_{1} e k_{2}, ma il prodotto non cambia. Invece la curvatura media e’ definita a meno del segno.

8. Le formule di Weingarten.

Riprendiamo in considerazione l’operatore di Weingarten W = W_{P_{0}} : T_{P_{0}}S → T_{P_{0}}S in P_{0} e calcoliamone la matrice associata nella base P_{u}, P_{v}. Cioe’ posto

\{ \begin{matrix}W (P_{u}) = a_{11}P_{u} + a_{12}P_{v} \\ W (P_{v}) = a_{21}P_{u} + a_{22}P_{v} \end{matrix}  (8.1)

vogliamo trovare la matrice

A = [ \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ]

Ricordando che W (P_{u}) · P_{u} = e, W (P_{u}) · P_{v} = W (P_{v}) · P_{u} = f, W (P_{v}) · P_{v} = g, per (8.1) otteniamo

\{ \begin{matrix}e = a_{11}E + a_{12}F \\ f = a_{11}F + a_{12}G = a_{21}E + a_{22}F \\ g = a_{21}F + a_{22}G \end{matrix}

Le precedenti relazioni corrispondono all’eguaglianza matriciale

[ \begin{matrix}e & f \\ f & g \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ] [ \begin{matrix}E & F \\ F & G \end{matrix} ]

dalla quale si ricava

[ \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}e & f \\ f & g \end{matrix} ] [ \begin{matrix}E & F \\ F & G \end{matrix} ]^{−1}

da cui

A = [ \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}e & f \\ f & g \end{matrix} ] \frac{1}{EG − F^{2}} [ \begin{matrix}G & −F \\ −F & E \end{matrix} ]  (8.2)

Sviluppando i prodotti nella precedente eguaglianza matriciale si ottengono le cosiddette formule di Weingarten, che sono lasciate al lettore per esercizio.

Direttamente dalle (8.2) ricaviamo le formule per la curvatura di Gauss e la curvatura media:

K = det A = \frac{eg − f^{2}}{EG − F^{2}}  (8.3)

H = \frac{1}{2} trA = \frac{1}{2} \frac{eG − 2fF + gE}{EG − F^{2}}  (8.4)

Definizione 8.1. Il punto P_{0} si dice:

- ellittico se K(P_{0}) > 0, equivalentemente k_{1} e k_{2} sono non nulli e hanno lo stesso segno: (eg − f^{2})(u_{0}, v_{0}) > 0;

- iperbolico se K(P_{0}) < 0, equivalentemente k_{1} e k_{2} sono non nulli e hanno segno opposto: (eg − f^{2})(u_{0}, v_{0}) < 0;

- parabolico se K(P_{0}) = 0, equivalentemente se almeno uno fra k_{1} e k_{2} e’ nullo: (eg − f^{2})(u_{0}, v_{0}) = 0.

- ombelicale se k_{1} = k_{2}.

Un punto ombelicale e’ ovviamente ellittico o parabolico. Si provi per esercizio che un punto P_{0} e’ ombelicale se e solo se l’operatore di Weingarten in P_{0} e’ la moltiplicazione per uno scalare.

Le formule (8.3), (8.4) permettono di calcolare le curvature gaussiana e media a partire dal calcolo di e, f, g; dopo di che e’ possibile trovare le curvature principali:

Proposizione 8.2. Le curvature principali sono le soluzioni dell’equazione di secondo grado

x^{2} − 2Hx + K = 0

quindi, supposto per esempio k_{1} ≤ k_{2}

k_{1}, k_{2} = H ∓ \sqrt{H^{2} − K}

La proposizione segue immediatamente dal fatto che 2H e’ la semisomma e K e’ il prodotto delle radici k_{1}, k_{2} dell’equazione cercata.

Una volta note le curvature principali in P_{0}, e’ possibile calcolare la curvatura normale in qualunque direzione, mediante il seguente

Teorema di Eulero. Sia v un vettore non nullo tangente a S in P_{0}, e sia θ l’angolo che esso forma con il versore principale v_{1}. Allora

k_{n}(v) = k_{1}cos^{2}θ + k_{2}sin^{2}θ

In effetti si puo’ supporre che v abbia modulo 1, quindi poiche’ v_{1} e v_{2} sono una base ortonormale di T_{P_{0}}S sara’ v = cosθv_{1} + sinθv_{2}, da cui per la (7.6) k_{n}(v) = W_{P_{0}}(v) · v = (cosθk_{1}v_{1} + sinθkv_{2}) · (cosθv_{1} + sinθv_{2}) = k_{1}cos^{2}θ + k_{2}sin^{2}θ.

Per terminare diamo delle formule esplicite per calcolare le funzioni e, f, g.

\{ \begin{matrix}e = P_{uu} · N = \frac{P_{uu}·P_{u}∧P_{v}}{EG−F^{2}} \\ f = P_{uv} · N = \frac{P_{uv}·P_{u}∧P_{v}}{EG−F^{2}} \\ g = P_{vv} · N = \frac{P_{vv}·P_{u}∧P_{v}}{EG−F^{2}} \end{matrix}

ove i numeratori sono prodotti misti, e quindi si calcolano come determinanti; ad esempio

P_{uu} · P_{u} ∧ P_{v} = det [ \begin{matrix}x_{uu} & x_{u} & x_{v} \\ y_{uu} & y_{u} & y_{v} \\ z_{uu} & z_{u} & z_{v} \end{matrix} ]

e cosi’ via.

9. La curvatura delle curve su S.

Si dice sezione normale di S nel punto P_{0} la curva che si ottiene intersecando S con un piano normale a S in P_{0}, cioe’ con un piano per P_{0} parallelo a N = N(u_{0}, v_{0})

Per individuare un piano normale π basta assegnare un vettore tangente v ≠ 0 a S in P_{0}; π e’ allora il piano per P_{0} parallelo a N e v.

Scriveremo dunque π = (N, v).

Si noti che una sezione normale e’ una curva piana (contenuta nel piano normale corrispondente).

Se C = π ∩ S e’ una sezione normale, il suo vettore tangente sta sul piano π (che la contiene), inoltre poiche’ C sta su S, il vettore tangente sta anche su T_{P_{0}}S, e quindi e’ parallelo a v; dunque v e’ tangente a S in P_{0}. Ne segue che il vettore normale n a C in P_{0} sta sul piano π ed e’ ortogonale a v, quindi e’ parallelo a N. Tenuto conto della formula (7.1) che definisce la curvatura normale di C in P_{0} possiamo concludere

k_{n}(C, P_{0}) = k(s_{0})n · N(u_{0}, v_{0}) = ±k(s_{0})

vale a dire la curvatura normale in P_{0} di una sezione normale coincide, a meno del segno, con la sua curvatura in P_{0}.

Questo permette di calcolare k_{n}(C, P_{0}) se si conosce k(s_{0}), ma anche il viceversa. Si ricordi che comunque il segno di k_{n}(C, P_{0}) dipende dalla parametrizzazione di S, percio’ ci si puo’ sempre ricondurre, salvo a cambiare parametrizzazione (ad esempio scambiando u e v) al caso k_{n}(C, P_{0}) ≥ 0, quindi k_{n}(C, P_{0}) = k(s_{0}).

Ricordiamo anche che k_{n}(v) = k_{n}(C, P_{0}) e quindi quanto sopra permette di calcolare anche la curvatura normale nella direzione v.

Mettiamo anche in evidenza il fatto che per conoscere la curvatura normale in un punto di una curva qualunque C tracciata su S basta conoscere k_{n}(v) ove v e’ il vettore tangente a C in P_{0}, e quindi tale curvatura normale e’ uguale (a meno del segno) alla curvatura (assoluta) della sezione normale di S col piano π = (N, v). Inoltre, la curvatura (assoluta) di C in P_{0} e’ data, in base a (7.1), dalla formula

k(s_{0}) = ±\frac{k_{n}(C, P_{0})}{cosβ}

ove β e’ l’angolo che la normale n a C forma con la normale N a S.

Esempio. Sia S una sfera di raggio r, e P_{0} un suo punto. Una sezione normale di S e’ un cerchio massimo, la sua curvatura e’ dunque \frac{1}{r}. Ne segue che k_{n}(v) e’ costante = ±\frac{1}{r}, pertanto k_{1} = k_{2} = ±\frac{1}{r}. Per conseguenza K = \frac{1}{r^{2}} , H = ±\frac{1}{r}, in particolare curvatura gaussiana e curvatura media sono costanti al variare del punto. Inoltre gli autovalori dell’operatore di Weingarten sono uguali, percio’ W_{P_{0}} e’ la moltiplicazione per lo scalare k_{1} = k_{2} = ±\frac{1}{r}. Quindi tutte le direzioni sono principali, e tutti i punti sono ombelicali.

Altri esempi di superficie i cui punti sono tutti ombelicali sono i piani, per cui k_{1}, k_{2} sono identicamente nulli. Viceversa, vale la seguente caratterizzazione delle superfici aventi solo punti ombelicali: sono aperti di un piano o di una sfera.

Proposizione 9.1. Una superficie S i cui punti siano tutti ombelicali e’ contenuta in un piano o in una sfera.

Si osservi che l’ipotesi equivale a dire che in ogni punto P = P (u, v) di S l’operatore di Weingarten e’ la moltiplicazione per uno scalare λ = λ(u, v), scalare che a priori dipende dal punto. Ebbene, in realta’ si prova innanzitutto che λ e’ costante. Infatti, si avra’ W_{P} (P_{u}) = λP_{u}, W_{P} (P_{v}) = λP_{v}, da cui tenuto conto delle (6.3):

−N_{u} = λP_{u}, −N_{v} = λP_{v}  (9.1)

da cui, derivando la prima rispetto a v , la seconda rispetto a u e sottraendo si ottiene:

λ_{u}P_{v} − λ_{v}P_{u} = 0;

tenuto conto che i vettori P_{u} e P_{v} sono linearmente indipendenti in ogni punto, segue λ_{u} = λ_{v} = 0 e quindi λ e’ costante (si ricordi che (u, v) varia su D, che e’ un dominio). Se λ = 0 le (9.1) danno N_{u} = 0, N_{v} = 0 da cui N e’ costante = N_{0}; pertanto se P_{0} e’ un punto qualunque della superficie, S e’ contenuta nel piano per P_{0} ortogonale a N_{0} (quest’ultima conclusione e’ lasciata al lettore). Supponiamo ora λ ≠ 0, in particolare possiamo supporre λ > 0 (eventualmente scambiando il ruolo di u e v), e sia r = 1/λ. Si consideri un punto P_{0} = P (u_{0}, v_{0}) di S e sia N_{0} il vettore normale a S in P_{0}. La sfera candidata a contenere S non potra’ che essere la sfera di raggio r passante per P_{0} il cui centro O e’ caratterizzato dall’essere il vettore O − P_{0} parallelo, equiverso con N_{0} e di lunghezza r, cioe’

O − P_{0} = rN_{0}

Bastera’ dunque provare che ogni punto P = P (u, v) di S ha distanza r dal punto O sopra definito. Sia M = M(u, v) il punto ottenuto da P allo stesso modo che O e’ stato ottenuto da P_{0}, e cioe’

M(u, v) − P (u, v) = rN(u, v);  (9.2)

derivando rispetto a u si ottiene

M_{u}(u, v) = P_{u}(u, v) + rN_{u}(u, v)

da cui, tenuto conto che N_{u}(u, v) = −W_{P} (P_{u}(u, v)) = −λP_{u}(u, v) si ottiene

M_{u}(u, v) = 0.

analogamente, derivando rispetto a v, si ha

M_{v}(u, v) = 0.

Ne segue che M(u, v) e’ costante, e siccome M(u_{0}, v_{0}) = O, la (9.2) diventa

O − P (u, v) = rN(u, v)

che implica ∥O − P (u, v)∥ = r, cioe’ appunto che P sta sulla sfera di centro O e raggio r.

10. Linee di curvatura.

Definizione 10.1. Si dice linea di curvatura un curva tracciata su S la cui tangente in ogni punto coincide con una direzione principale in quel punto.

Si puo’ dimostrare che per un punto di S non ombelicale passano due linee di curvatura (e sono ovviamente ortogonali). Supponiamo per semplicita’ che S non abbia punti ombelicali

Lemma 10.2. Supponiamo che S non abbia punti ombelicali. Le linee di curvatura coincidono con le linee cordinate se e soltanto se F = f = 0.

Supponiamo innanzitutto che le linee di curvatura coincidano con le linee cordinate e proviamo che F = f = 0. Poiche’ le linee di curvatura sono ortogonali, lo sono anche le linee coordinate, ne segue F = 0; inoltre P_{u} e P_{v} sono direzioni principali in ogni punto, quindi f = W (P_{u}) · P_{v} = 0 perche’ W (P_{u}) e’ parallelo a P_{u}. Viceversa supponiamo F = 0 e f = 0; la prima assicura che le linee cordinate sono ortogonali; la seconda ci da’ W (P_{u}) · P_{v} = f = 0 cioe’ W (P_{u}) e’ ortogonale a P_{v} e quindi e’ parallelo a P_{u}; ne segue che P_{u} e’ un autovettore dell’operatore di Weingarten in ogni punto, quindi le v = costante sono linee di curvatura; analogamente per le u = costante, con il che il lemma e’ provato.

Come conseguenza:

Proposizione 10.3. Le linee di curvatura di una superficie di rotazione sono i meridiani e i paralleli.

Si utilizzi la parametrizzazione di S data da (2.13), in cui i meridiani e i paralleli sono rispettivamente le linee coordinate v = costante e u = costante. Siccome meridiani e paralleli sono ortogonali, segue F = 0. Sia π un piano definito da v = v_{0} contenente l’asse z e sia M = π ∩ S il meridiano corrispondente. Se P e’ un punto di M, il vettore normale N(u, v_{0}) a S in P e’ contenuto in π (infatti: P_{v}, vettore tangente al parallelo per P, e’ ortogonale a π; P_{u}, vettore tangente in P al meridiano M sta su π, onde N = P_{u} ∧ P_{v} sta pure su π). Pertanto anche la sua derivata parziale N_{u}(u, v_{0}) sta su π. Percio’ f = −P_{v} · N_{u}(u, v_{0}) = 0 . La conclusione segue dal lemma precedente.

Osservazione 10.4. Se F = f = 0 (per esempio se S e’ una superficie di rotazione) si ha:

k_{1} = \frac{e}{E} , k_{2} = \frac{g}{G}, K = \frac{eg}{EG} H = \frac{1}{2}(\frac{e}{E} + \frac{g}{G})

In effetti se F = f = 0 le formule di Weingarten (8.2) danno

W (P_{u}) = \frac{e}{E} P_{u}, W (P_{v}) = \frac{g}{G}P_{v}

vale a dire che P_{u} e P_{v} sono gli autovettori di W e \frac{e}{E} , \frac{g}{G} sono gli autovalori.

Esercizio. Trovare le linee di curvatura di un cilindro circolare retto e di un cono circolare retto, e calcolare le curvature principali, la curvatura di Gauss e la curvatura media.