ESERCIZI

Esercizio 1.  Dimostrare l' 
        identita' di Lagrange : 
(u ∧ 
                v) . (t ∧ r) = (u . t) (v . r) - (u . 
              r) (v . t)
ove  u, v, t, 
    r sono vettori di (ℝ^3)

Esercizio 2: Definita la funzione f[t_]:=D[Cos[t],{t,2}] verificare che f[t]+Cos[t] e´ identicamente nulla.Quanto vale f[1]? Correggere il problema ..

Esercizio 3  Dimostrare con "Mathematica" la formula per la curvatura K di una curva piana (x(t),y(t)) ove t e' un qualsiasi parametro. (K=\(TraditionalForm\`\(\(|\)\(x'\ y'' - x''\ y'\)\(|\)\)\/\((\@\(x'\^2 + y'\^2\))\)\^3\)))

Esercizio 4 Determinare la funzione lunghezza d'arco e la curvatura delle seguenti curve:(cos t+t sen t,sen t-t cos t),t∈[0,2π]
(cos^3 t,sen^3 t),t∈[0,2π]
Determinarne i grafici.

\(Esercizio\ 5. \ Dimosrare\ che\ la\ curva\ \ \((cos\ t, sen\ t, \ 
        2\ Cos[t/2] \((Sin[t/2] + Cos[t/2])\))\), \ 
    t ∈ \([0, 
          2  π]\)\ e'\ \(\(piana\)\(.\)\(\ \)\(
\)\)\)

Esercizio 6 Tramite la funzione intrinsic e plotintrinsic del CD allegato al libro di Caddeo Gray determinare il grafico
delle curve le cui  curvature in funzione del parametro d'arco s siano -(1/((s^2) + 1)), \(e\^\(-s\)\/\@\(1 - e\^\(\(-2\)\ s\)\)\)  ,(1/s)(della catenaria, trattrice e  spirale logaritmica) .  Analizzare eventuali cambiamenti dovuti a differenti scelte iniziali ( punto o triedro mobile).
Confrontare i grafici ottenuti con quelli di parametrizzazioni delle curve.

\(\(intrinsic[fun_, a_:  0, {c_:  0, d_:  0, theta0_:  0}, 
          optsnd___, 
\ \ \ \ \ \ \ \ {smin_: - 10, smax_:  10}]\)[
        t_] := 
\ \ \ \ \ \ \ \ Flatten[
        Module[{x, y, 
            theta}, 
\ \ \ \ \ \ \ \ {x[t], 
              y[t]}\  /. 
\ \ \ \ \ \ \ \ NDSolve[{\(x'\)[ss] == 
                  Cos[theta[ss]], 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \(y'\)[ss] == 
                  Sin[theta[ss]], 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \(theta'\)[ss] == 
                  fun[ss], 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x[a] == c, y[a] == d, 
                theta[a] == theta0}, 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {x, y, 
                theta}, {ss, smin, smax}, optsnd]]]\)

\(\(plotintrinsic[fun_, a_:  0, {c_:  0, d_:  0, theta0_:  0}, 
          optsnd___, 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {smin_: - 10, 
            smax_:  10}, optspp___] := 
\ \ \ \ ParametricPlot[
          Module[{x, y, 
                theta}, 
\ \ \ \ {x[t], 
                  y[t]}\  /. 
\ \ \ \ NDSolve[{\(x'\)[ss] == 
                      Cos[theta[ss]], 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \(y'\)[ss] == 
                      Sin[theta[ss]], 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \(theta'\)[
                        ss] == fun[ss], 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x[a] == 
                      c, y[a] == d, 
                    theta[a] == theta0}, 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {x, y, 
                    theta}, {ss, smin, smax}, optsnd]] // 
            Evaluate, 
\ \ \ \ \ \ \ \ \ {t, smin, smax}, 
          AspectRatio -> Automatic, optspp];\)\)

Esercizio 7 Costruire una animazione della trattrice.

Esercizio 8 Sia S il toro  {(4+2 Cos[v])Cos[u],(4+2 Cos[v])Sin[u],2Sin[v]},  le due curve {t^2, t-1} e {Cos[x],Sin[x]}
passano per uno stesso punto Q per t=1 ed x=0. Determinare l'angolo tra le curve sul toro nel punto corrispondente ( risolvere l'esercizio con e senza l'utilizzo della I f.f.).