Esercizio 2. Sia C la curva intersezione del toro di equazioni parametriche
( (3+cos u) cos v, (3+cos u) sen v, sen u)
ed il piano -7+2^(1/2) x+2^(1/2) y+z nel punto P= (3/2^(1/2),3/2^(1/2),1). Rappresentare graficamente in un intorno di P toro,piano e curva.Determinare la curvatura normale di C in  P.

Clear[toro]

toro[u_, v_] := {(3 + Cos[u]) Cos[v], (3 + Cos[u]) Sin[v], Sin[u]}

p = toro[Pi/2, Pi/4]

{3/2^(1/2), 3/2^(1/2), 1}

piano[x_, y_, z_] := Sqrt[2] (x - p[[1]]) + Sqrt[2] (y - p[[2]]) + (z - 1)

Simplify[piano[x, y, z]]

-7 + 2^(1/2) x + 2^(1/2) y + z

Si tratta di trovare un vettore comune al piano in questione ed al piano tangente alla superficie nel punto {3/2^(1/2),3/2^(1/2),1}

torogr = ParametricPlot3D[toro[u, v]//Evaluate, {u, 0, Pi}, {v, 0, Pi/2}]

[Graphics:../HTMLFiles/index_36.gif]

-Graphics3D -

parpiano = Solve[piano[x, y, z] == 0, z]

{{z→1 - 2^(1/2) (-3/2^(1/2) + x) - 2^(1/2) (-3/2^(1/2) + y)}}

z/.parpiano

{1 - 2^(1/2) (-3/2^(1/2) + x) - 2^(1/2) (-3/2^(1/2) + y)}

<<Graphics`Colors`

pianogr = ParametricPlot3D[{x, y, (z/.parpiano)[[1]], SurfaceColor[Green]}, {x, 1, 3}, {y, 1, 3}, ViewPoint→ {5, 5, 0}]

[Graphics:../HTMLFiles/index_44.gif]

-Graphics3D -

Show[Graphics3D[{PointSize[0.03], Point[p]}]]

[Graphics:../HTMLFiles/index_47.gif]

-Graphics3D -

Show[torogr, pianogr, Graphics3D[{PointSize[0.03], Point[p]}], ViewPoint→ {5, 5, 10}]

[Graphics:../HTMLFiles/index_50.gif]

-Graphics3D -

Pu[u_, v_] := D[toro[uu, vv], uu]/.{uu→u, vv→v}

Pv[u_, v_] := D[toro[uu, vv], vv]/.{uu→u, vv→v}

Il piano tg e´ dato da

pianotg = Det[{{x, y, z} - p, Pu[Pi/2, Pi/4], Pv[Pi/2, Pi/4]}]

3 - 3 z

piano[0, 0, 0]

-7

Solve[{pianotg - (pianotg/.{x→0, y→0, z→0}) == 0, piano[x, y, z] - piano[0, 0, 0] == 0}, {x, y, z}]

Solve :: svars : Equations may not give solutions for all \"solve\" variables.

{{x→ -y, z→0}}

Un vettore tg alla curva e´ {1,-1,0} le cui componenti rispetto ai vettori tg Pu e Pv

Solve[a Pu[Pi/2, Pi/4] + b Pv[Pi/2, Pi/4] == {1, -1, 0}, {a, b}]

{{a→0, b→ -2^(1/2)/3}}

EE = Simplify[Pu[u, v] . Pu[u, v]]

1

FF = Simplify[Pu[u, v] . Pv[u, v]]

0

GG = Simplify[Pv[u, v] . Pv[u, v]]

(3 + Cos[u])^2


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