Esercizio 4 . Verificare che ( sen u cos v, sen u sun v, cos u) e' una parametrizzazione della sfera di cui {Cos[v] Sin[u],Sin[u] Sin[v],Cos[u]} rappresenta il versore normale. Verificare che il determinante della seconda forma fondamentale eg-f^2 si annulla in (π,0). Si tratta quindi di un punto parabolico? Cosa c`e' che non va?

sfera[r_][u_, v_] := r { Cos[v] Sin[u], Sin[u] Sin[v], Cos[u]}

versnorm[x_][u_, v_] := Module[{xu, xv, norv}, xu = D[x[uu, vv], uu] ; xv = D[x[uu, vv], vv] ; norv = Cross[xu, xv] ; Simplify[norv/ Sqrt[norv . norv]]]/.{uu→u, vv→v}

versnorm[sfera[1]][u, v]

{Cos[v] Sin[u]^2^(1/2), Sin[u]^2^(1/2) Sin[v], Cot[u] Sin[u]^2^(1/2)}

Limit[Cot[u] Sin[u], u→c]

Cos[c]

La parametrizzazione non definisce la normale in (0,0) in (π,0)

versnorm[sfera[1]][Pi, 0]

{0, 0, Indeterminate}

vettnorm[x_][u_, v_] := Module[{xu, xv, nor}, xu = D[x[uu, vv], uu] ; xv = D[x[uu, vv], vv] ; nor = Cross[xu, xv]]/.{uu→u, vv→v}

vettnorm[sfera[1]][0, 0]

{0, 0, 0}

du = D[sfera[1][u, v], u]

{Cos[u] Cos[v], Cos[u] Sin[v], -Sin[u]}

dv = D[sfera[1][u, v], v]

{-Sin[u] Sin[v], Cos[v] Sin[u], 0}

Cross[du, dv]

{Cos[v] Sin[u]^2, Sin[u]^2 Sin[v], Cos[u] Cos[v]^2 Sin[u] + Cos[u] Sin[u] Sin[v]^2}

Simplify[%]

{Cos[v] Sin[u]^2, Sin[u]^2 Sin[v], Cos[u] Sin[u]}

miovet = Simplify[vettnorm[sfera[1]][u, v]/Sin[u]]

{Cos[v] Sin[u], Sin[u] Sin[v], Cos[u]}

Miovet e' un versore normale

miovet . miovet

Cos[u]^2 + Cos[v]^2 Sin[u]^2 + Sin[u]^2 Sin[v]^2

Simplify[%]

1

D[du, u]

{-Cos[v] Sin[u], -Sin[u] Sin[v], -Cos[u]}

LL = Simplify[D[du, u] . miovet]

-Sin[u]

NN = Simplify[-dv . D[vettnorm[sfera[1]][u, v], v]]

-Sin[u]^3

MM = Simplify[D[du, v] . miovet]

0

LL NN - MM^2

Sin[u]^4


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