Esercizio 1 Verificare che i coefficienti della  II f.f.  non sono invarianti per cambi di parametrizzazione sull'ellissoide di equazioni parametriche
{a cos u cos v, b cos u sen v, c sen u}
      

ellissoide[u_, v_] := {a Cos[u] Cos[v], b Cos[u] Sin[v], c Sin[u]}

pu[u_, v_] := D[ellissoide[t, z], t]/.{t→u, z→v}

pv[u_, v_] := D[ellissoide[t, z], z]/.{t→u, z→v}

pu[u, v]

{-a Cos[v] Sin[u], -b Sin[u] Sin[v], c Cos[u]}

pv[u, v]

{-a Cos[u] Sin[v], b Cos[u] Cos[v], 0}

nvet[u_, v_] := Simplify[Cross[pu[u, v], pv[u, v]]]

nvers[u_, v_] := Simplify[nvet[u, v]/Sqrt[nvet[u, v] . nvet[u, v]]]

nvers[u, v]

ee[u_, v_] := D[ellissoide[t, z], {t, 2}]/.{t→u, z→v}

gg[u_, v_] := D[ellissoide[t, z], {z, 2}]/.{t→u, z→v}

ff[u_, v_] := D[D[ellissoide[t, z], {t, 2}], z]/.{t→u, z→v}

ee[u, v]

{-a Cos[u] Cos[v], -b Cos[u] Sin[v], -c Sin[u]}

gg[u, v]

{-a Cos[u] Cos[v], -b Cos[u] Sin[v], 0}

ff[u, v]

{a Cos[u] Sin[v], -b Cos[u] Cos[v], 0}


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