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\begin{document}
\begin{center}
  \begin{large}
    {\bf Complementi di Analisi Matematica \\
C.d.L. Specialistica Ingegneria Gestionale a.a. 2005/2006\\
  12 gennaio 2006}
\end{large}
\end{center}
\vspace{1cm}
\thispagestyle{empty}
\begin{enumerate}
\item Risolvere le seguenti equazioni differenziali: 
  \begin{eqnarray*}
a.& y'''-3y''=x+1 \\
b.& e^{x+y}y'+x=0\\
c.& x^2y''+xy'+4y=0\\
 \end{eqnarray*}
\item Studiare qualitativamente la seguente equazione differenziale:
$$y'=y^2+3y+2$$ e risolvere il problema di Cauchy con dato iniziale $y(0)=0$.

\medskip

\item Determinare la natura dei punti critici e le orbite del seguente \\ sistema:
$$\begin{cases}
    x'&=4y \\
    y'&=x+xy^2
  \end{cases}$$
 
\medskip
\item Utilizzando la trasformata di Laplace risolvere il seguente problema di Cauchy:
$$\begin{cases}
    y''+4y=x \\
    y(0)=1 \\
    y'(0)=5
  \end{cases}$$
\medskip
\item Integrare per serie la seguente equazione differenziale
$$y''+4x^2y=0 \qquad \qquad \text{in un intorno di } x=0$$
\medskip
\item Trovare la soluzione $z=z(x,y)$ della seguente equazione alle derivate parziali: 
$$
\begin{cases}
(y+z)z_x+y z_y=y  \\
z(x,1)=x+1 
\end{cases}$$
\medskip 
\item Descrivere le propriet\`a degli autovalori di un probelma di Sturm-Liouville regolare e dimostrarne almeno una.
\end{enumerate}
\end{document}



