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\begin{document}
\begin{center}
{\bf Complementi di Analisi Matematica \\
C.d.L. Specialistica Ingegneria Gestionale a.a. 2005/2006\\
 20 dicembre 2005}
\end{center}
\vspace{1cm}
\thispagestyle{empty}
\begin{enumerate}
\item Risolvere le seguenti equazioni differenziali: 
  \begin{eqnarray*}
a.& y'=\frac{4y}{x}+2x\sqrt{y} \\
b.& y''+4y=3\cos x -2x\\
c.&xy'-y \ln y=0\\
 \end{eqnarray*}
\item Studiare qualitativamente la seguente equazione differenziale:
$$y'=1+arctg(y^2)$$
\item Dato il  sistema:  
$$\begin{cases}
    x'&=x+2y+e^t \\
    y'&=2x+y+1
  \end{cases}$$
1.determinare la soluzione generale del sistema; \\
2. determinare la soluzione particolare per il punto iniziale 

$(x(0),y(0))=(0,0)$\\ 
3. determinare i punti stazionari del sistema omogeneo associato, la loro natura, studiarne la stabilit\`a e tracciare un grafico approssimativo delle traiettorie.\\

\medskip
\item Utilizzando la trasformata di Laplace risolvere il seguente problema di Cauchy:
$$\begin{cases}
    y''+5y'-50y=0 \\
    y(0)=0 \\
    y'(0)=1
  \end{cases}$$
\medskip
\item Sviluppare in serie di Fourier la funzione: 
 $$f(x)=\frac{x}{2} \quad -\pi<x<\pi, \quad \text{e tale che} \quad f(x+2\pi)=f(x)$$
\medskip
\item Trovare la soluzione $z=z(x,y)$ della seguente equazione alle derivate parziali: 
$$
\begin{cases}
z_x+y\cos x z_y=y \cos x \\
z(0,y)=2y-3 
\end{cases}$$
\medskip 
\item Classificare la seguente equazione differenziale alle derivate parziali:
$$z_{xx} -6z_{yx}-z_{x}+4z_{y}=\cos y+e^x$$
\medskip
\item Esporre il metodo di Frobenius per la risoluzione in serie di equazioni differenziali ordinarie. 
\end{enumerate}
\end{document}



