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\newtheorem{ex}[definition]{Example}
\begin{document}
\begin{center}
{\bf Complementi di Analisi Matematica \\
C.d.L. Specialistica Ingegneria Gestionale a.a. 2004/2005\\
 21 aprile 2005}
\end{center}
\vspace{1cm}
\thispagestyle{empty}
\begin{enumerate}
\item Risolvere le seguenti equazioni differenziali: 
  \begin{eqnarray*}
a.& &x^2y''+3xy'+2y=0\\
b.& &\begin{cases}
  y''-y'-2y=e^{3x} \\
  y(0)=2, \qquad y'(0)=1
\end{cases} \\
c.& & 2xydx +(1+x^2)dy=0 \\
d.& &\begin{cases}
y' + y(x^2+1)=0 \\
y(-1)=1
  \end{cases}\\
e.& &y'-\frac{y}{x}=-\frac{5}{2}x^2y^3 \\
 \end{eqnarray*}
\item Dato il  sistema:  
$$\begin{cases}
x'=x+y \\
y'=9x+y
    \end{cases}$$
1.determinare i punti stazionari e studiarne la stabilita';\\
2.determinare tutte le soluzioni del sistema.
\medskip
\item Utilizzando il metodo della trasformata di Laplace risolvere la
  seguente equazione differenziale:
$$ y''+2y'+5y=3e^{-2x}; \qquad y(0)=1; \quad y'(0)=1$$ 
\medskip
\item Risolvere per serie in un intorno di $x=0$ la seguente equazione differenziale:\\
$$8x^2y''+10xy'+(x-1)y=0$$
\medskip
\item Si trovino gli autovalori e le autofunzioni del problema:
$$y''-4\lambda y'+4\lambda^2y=0; \qquad y(0)=0; \quad  y(1)+y'(1)=0$$ 
\medskip
\item Risolvere le seguenti equazioni alle derivate parziali dove $z=z(x,y)$:
 \begin{eqnarray*}
a.& xz_x+z_y=1; \qquad &z(1,y)=e^{-y}\\
b.& z_{x,y}=\sin y; \qquad &z(x,0)=x\\
c.& xz_x+y^{-1}z_y=1 \qquad &z(x,0)=5-x \\
   \end{eqnarray*}
 \item Si scrivano i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier
   di una funzione $f(x)$ periodica di periodo $T$, regolare a tratti
   nell'intervallo $-T/2\leq x\leq T/2$, pari.
\end{enumerate}
\end{document}



