\documentclass[a4paper, 11pt]{amsart}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amscd}
\usepackage{euscript}

\newcommand{\elle}{{\EuScript L}}
\newcommand{\n}{\noindent}
\newcommand{\lr}{\longrightarrow}
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{definition}{definition}[section]
\newtheorem{lemma}[definition]{Lemma}
\newtheorem{thm}[definition]{Theorem}
\newtheorem{prop}[definition]{Proposition}
\newtheorem{cor}[definition]{Corollary}
\newtheorem{rem}[definition]{Remark}
\newtheorem{ex}[definition]{Example}
\begin{document}
\begin{center}
{\bf Complementi di Analisi Matematica \\
C.d.L. Specialistica Ingegneria Gestionale a.a. 2004/2005\\
 10 febbraio 2005}
\end{center}
\vspace{1cm}
\thispagestyle{empty}
\begin{enumerate}
\item Risolvere le seguenti equazioni differenziali: 
  \begin{eqnarray*}
a.& y''+4y=cos x \\
b.& y'=x(y^3-y) \\
c.&\begin{cases}
  (1+x^3)y'-x^2y=0 \\
   y(1)=2 
\end{cases}\\
d.&\!\begin{cases}
  y''-3y'-4y=4x+1 \\
  y(0)=2, \qquad y'(0)=1
\end{cases}\\
e.&\begin{cases}
4x^2y''- 4xy'+3y=0 \\
y(1)=0, \qquad y'(1)=0   
\end{cases}\\
 \end{eqnarray*}
\item Dato il  sistema:  
$$\begin{cases}
    x'&=5x+4y \\
    y'&=x+2y
  \end{cases}$$
1.determinare i punti stazionari e studiarne la stabilita';\\
2.determinare tutte le soluzioni del sistema.
\medskip
\item Calcolare le seguenti trasformate e antitrasformate di Laplace:
 $$\elle(x sen kx + 5cosx) ;\qquad  \elle^{-1}\Big(\frac{s+5}{s^2+10s+9}\Big)$$
\medskip
\item Risolvere per serie la seguente equazione differenziale:\\
$$y''+xy'+y=0$$
\medskip
\item Sviluppare in serie di Fourier la funzione: 
 $$f(x)=x \quad -\pi<x<\pi, \quad \text{e tale che} \quad f(x+2\pi)=f(x)$$
\medskip
\item Risolvere le seguenti equazioni alle derivate parziali dove $z=z(x,y)$:
 \begin{eqnarray*}
a.& \  z_x=e^y &\text{con} \quad z(0,y)=y^2 \\
b.& \ 3z_x-4z_y+2z=7  &\text{con} \quad z(x,0)=e^x \\
c.& \ z_x+yz_y=z     &\text{con} \quad z(x,1)=xe^{-x}\\
   \end{eqnarray*}
\item Classificare le equazioni differenziali alle derivate parziali
  del secondo ordine a coefficienti costanti.
\end{enumerate}
\end{document}



