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\begin{document}
\begin{center}
  \begin{large}
    {\bf Complementi di Analisi Matematica \\
C.d.L. Specialistica Ingegneria Gestionale a.a. 2005/2006}\\
  \end{large}
\end{center}
\vspace{1cm}
\thispagestyle{empty}
\begin{enumerate}
\item Risolvere le seguenti equazioni differenziali: 
$$y''+2y'+y=f(x)$$
dove $f(x)$ \'e uguale rispettivamente a: 
  \begin{eqnarray*}
a.& e^{-x}+3 \sin x \\
b.& 1
 \end{eqnarray*}
\item Sapendo che $y_1=x\sin x$ \`e una soluzione dell'equazione differenziale:
$$xy''-2y'+ \frac{x^2+2}{x}y=0, \qquad 0<x<\pi$$
trovare un'altra soluzione linearmente indipendente.


\medskip

\item Risolvere, con il metodo delle costanti:
$$ y''-3y+2y=\frac{1}{x}e^x \qquad x>0$$
 
\item Dato il sistema:
$$
\begin{cases}
  x'&=y +t \\
  y'&=-2x+4y+1
\end{cases}
$$
Trovare una soluzione, classificare i punti critici del problema omogeneo associato e descriverne le orbite.
\medskip
\item Utilizzando la trasformata di Laplace risolvere il seguente problema di Cauchy:
$$\begin{cases}
    x'=y-1 \\
    y'=2x-y \\
x(0)=3    \\
y(0)=5 
  \end{cases}$$
\medskip
\item Trovare gli autovalori ele corrispondenti autofunzioni del problema al bordo
$$
\begin{array}[c]{rl}
  &y''+2y'+\lambda y=0 \qquad 0\leq x \leq 1 \\
  &y(0)=y(1)=0
\end{array}
$$
discutendo i vari casi al variare di $\lambda$.
\item Enunciare il teorema di convergenza di Fourier.
\end{enumerate}
\end{document}



