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\DeclareMathOperator{\Fix}{Fix} \DeclareMathOperator{\dist}{dist}

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\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollario}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Proposizione}
\newtheorem{defn}[theorem]{Definizione}
\newtheorem{Oss}[theorem]{Osservazione}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{Ex}[theorem]{Esempio}

\begin{document}

\begin{center}
{\LARGE Soluzioni per serie per equazioni differenziali ordinarie
del secondo ordine:}
\end{center}\md

\noindent
\begin{center}{\large Irene Benedetti}
\centerline{Dipartimento di Energetica S.Stecco, Universit\`a di
Firenze}
\end{center}
\sm
\section{Soluzioni in un intorno di un punto ordinario:}
Consideriamo una equazione lineare del secondo ordine a
coefficienti variabili del tipo:
\begin{equation}
\label{eqdiff}
\alpha(x)y^{\prime\prime}+\beta(x)y^{\prime}+\gamma(x)y=0
\end{equation}
\begin{defn}
Un punto $x_0$ \`e detto un punto ordinario dell'equazione
differenziale (\ref{eqdiff}) se le due funzioni
\begin{equation}
\label{coefficients}
p(x)=\displaystyle\frac{\beta(x)}{\alpha(x)}\;\;\mbox{e}\;\;q(x)=\displaystyle\frac{\gamma(x)}{\alpha(x)}
\end{equation}
sono analitiche nel punto $x_0$, cio\`e  le funzioni $p,\,q$ sono
sviluppabili in serie di potenze:
\begin{equation}
\label{series}
\begin{array}{l}
p(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty
A_n(x-x_0)^n\;\;\mbox{per}\;|x-x_0|<R_1,\\\\
q(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty
B_n(x-x_0)^n\;\mbox{per}\;\;|x-x_0|<R_2.
\end{array}
\end{equation}
Se una delle due funzioni in (\ref{coefficients}) non \`e
analitica nel punto $x_0$ allora $x_0$ \`e detto un punto
singolare dell'equazione (\ref{eqdiff}).
\end{defn}
\begin{theorem}
Se $x_0$ \`e un punto ordinario dell'equazione differenziale
(\ref{eqdiff}) allora la soluzione generale dell'equazione
differenziale \`e sviluppabile in serie di potenze intorno a
$x_0$.
\begin{equation}
\label{solution} y(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n
\end{equation}
con raggio di convergenza positivo. Pi\`u precisamente se $R_1$,
$R_2$ sono raggi di convergenza delle serie in (\ref{series}) il
raggio di convergenza di (\ref{solution}) \`e minore o uguale al
minimo fra $R_1$ e $R_2$. I coefficienti $a_n,\;n=0,1,2,3,\dots$
della serie (\ref{solution}) possono essere ottenuti dalla
sostituzione diretta di (\ref{solution}) nella equazione
differenziale (\ref{eqdiff}) ed uguagliando i coefficienti dei
termini della stessa potenza.
\end{theorem}
\begin{Ex}
Trovare la soluzione generale dell'equazione differenziale:
\begin{equation}
\label{ex} y^{\prime\prime}-2(x-1)y^\prime+2 y=0
\end{equation}
in un intorno del punto $x_0=1$.
\end{Ex}
\noindent \textbf{Soluzione:} Differenziando (\ref{solution})
termine a termine si ottiene:
\begin{equation*}
y^\prime=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty n
a_n(x-1)^{n-1}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n a_n(x-1)^{n-1}
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
y^{\prime\prime}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty n (n-1)
a_n(x-1)^{n-2}=\displaystyle\sum_{n=2}^\infty n (n-1)
a_n(x-1)^{n-2}
\end{equation*}
Ora sostituiamo $y,\;y^\prime,\;y^{\prime\prime}$ nell'equazione
(\ref{ex}):
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
y^{\prime\prime}=\displaystyle\sum_{n=2}^\infty n (n-1)
a_n(x-1)^{n-2}\\
-2(x-1)y^\prime=-2(x-1)\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n
a_n(x-1)^{n-1}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty -2 n a_n(x-1)^{n}\\
2 y=2 \displaystyle\sum_{n=0}^\infty
a_n(x-1)^{n}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty 2 a_n(x-1)^{n}
\end{array}
\end{equation*}
Dal momento che \`e pi\`u facile sommare le tre serie termine a
termine se i termini generali sono della stessa potenza in ogni
serie e l'indice di partenza delle serie \`e lo stesso per tutte e
tre le serie, riscriviamo le serie nella seguente forma
equivalente:
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
(j=n-2),\;y^{\prime\prime}\displaystyle=
\displaystyle\sum_{j=0}^\infty (j+2)(j+1)
a_{j+2}(x-1)^{j}=2a_2+\displaystyle\sum_{j=1}^\infty (n+2)(n+1)
a_{n+2}(x-1)^{n}\\\\
-2(x-1)y^\prime=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty -2 n
a_n(x-1)^{n}\\\\
2 y=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty 2
a_n(x-1)^{n}=2a_0+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty 2 a_n(x-1)^{n}
\end{array}
\end{equation*}
Sommando termine a termine il membro di destra e quello di
sinistra risulta:
\begin{equation*}
0=(2a_2+2a_0)+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty
[(n+2)(n+1)a_{n+2}-2na_n+2a_n](x-1)^{n}
\end{equation*}
Il membro di sinistra \`e una serie di potenze identicamente
uguale a zero, quindi tutti i suoi coefficienti devono essere
nulli. Cio\`e:
\begin{equation}
\label{a2} 2a_2+2a_0=0
\end{equation}
e
\begin{equation}
\label{recurrence}
(n+2)(n+1)a_{n+2}-2na_n+2a_n=0\;\;\mbox{per}\;\; n=1,2,\dots
\end{equation}
La condizione (\ref{recurrence}) \`e detta formula di ricorrenza
perch\`e permette di ottenere $a_{n+2}$ sapendo $a_n$. Dalla
(\ref{a2}) otteniamo:
\begin{equation*}
a_2=-a_0
\end{equation*}
e dalla (\ref{recurrence}) otteniamo
\begin{equation*}
a_{n+2}=\displaystyle\frac{2(n-1)}{(n+2)(n+1)}a_n\;\mbox{per}\;n=1,2,\dots
\end{equation*}
Cio\`e:
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
a_3=0,\;\;a_4=\displaystyle\frac{2}{4\cdot 3}
a_2=-\displaystyle\frac{2}{4\cdot 3}
a_0=-\displaystyle\frac{2^2}{4!} a_0\\\\
a_5=0,\;\;a_6=\displaystyle\frac{2\cdot 3}{6\cdot 5}
a_4=-\displaystyle\frac{2^2\cdot 3}{6\cdot 5\cdot 4\cdot 3}
a_0=-\displaystyle\frac{2^3\cdot 3}{6!} a_0\\\\
a_7=0,\;\;a_8=\displaystyle\frac{2\cdot 5}{8\cdot 7}
a_6=-\displaystyle\frac{2^3\cdot 5\cdot 3}{8\cdot 7\cdot 6\cdot
5\cdot 4 \cdot 3} a_0=-\displaystyle\frac{2^4\cdot 5\cdot 3}{8!}
a_0
\end{array}
\end{equation*}
Quindi abbiamo trovato che:
\begin{equation*}
a_{2n+1}=0,\;n=1,2,\dots
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
a_{2 n}=-\displaystyle\frac{2^n\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot
(2n-3)}{2n!} a_0,\;n=2,3,\dots
\end{equation*}
Allora la soluzione generale dell'equazione (\ref{ex}) \`e
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
y(x)=a_0+a_1(x-1)+a_2(x-1)^2+a_4(x-1)^4+a_6(x-1)^6+\dots=\\
a_1(x-1)+a_0(1-(x-1)^2-\displaystyle\frac{2^2}{4!}(x-1)^4-\displaystyle\frac{2^3\cdot
3}{6!}(x-1)^6-\dots).
\end{array}
\end{equation*}
\section{Soluzioni vicino a un punto singolare regolare}
\begin{defn}
Un punto $x_0$ \`e detto un punto singolare regolare
dell'equazione differenziale:
\begin{equation}
\label{eqdiff}
\alpha(x)y^{\prime\prime}+\beta(x)y^{\prime}+\gamma(x)y=0
\end{equation}
se \`e un punto singolare e le due funzioni
\begin{equation}
\label{regsingular}
(x-x_0)\displaystyle\frac{\beta(x)}{\alpha(x)}=(x-x_0)p(x)\;
\mbox{e}\;(x-x_0)^2\displaystyle\frac{\gamma(x)}{\alpha(x)}=(x-x_0)^2q(x)
\end{equation}
sono analitiche nel punto $x_0$. Se una delle due funzioni in
(\ref{regsingular}) non \`e analitica nel punto $x_0$ allora $x_0$
\`e detto un punto singolare irregolare dell'equazione
(\ref{eqdiff}).
\end{defn}
\noindent In un intorno di un punto singolare regolare il metodo
di sviluppo in serie visto nel paragrafo precedente non si pu\`o
applicare, in questo caso allora risolviamo l'equazione
differenziale usando il cosiddetto metodo di Frobenius, che
consiste nel cercare una soluzione della forma:
\begin{equation}
\label{frob} y(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x^{n+\lambda}
\end{equation}
con $a_0\neq 0$ e dove abbiamo supposto $x_0=0$ punto singolare
regolare per semplicit\`a. \noindent Notiamo che in questo caso
oltre ai coefficienti $a_n$
della serie \`e da determinare l'esponente $\lambda$.\\
\noindent Se sostituiamo $y$ definita in (\ref{frob})
nell'equazione differenziale (\ref{eqdiff}) otteniamo:
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n (\lambda+n) (\lambda+n-1)
x^{n+\lambda-2}+\\\\
p(x)\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n (\lambda+n)
x^{n+\lambda-1}+q(x)\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n
x^{n+\lambda}=0.
\end{array}
\end{equation*}
Raccogliamo $x$ dalla seconda serie e $x^2$ dalla terza per
rendere tutti gli esponenti uguali:
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n (\lambda+n) (\lambda+n-1)
x^{n+\lambda-2}+\\\\
x p(x)\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n (\lambda+n)
x^{n+\lambda-2}+x^2 q(x)\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n
x^{n+\lambda-2}=0.
\end{array}
\end{equation*}
Siccome abbiamo supposto che $0$ sia un punto singolare regolare
allora $x p(x)$ e $x^2 q(x)$ sono sviluppabili in serie di
potenze.
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
x p(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty
A_n(x-x_0)^n\;\mbox{per}\;|x-x_0|<R_1,\\\\
x^2 q(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty
B_n(x-x_0)^n\;\mbox{per}\;|x-x_0|<R_2.
\end{array}
\end{equation*}
Sostituendo queste serie nell'equazione si ha:
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n (\lambda+n) (\lambda+n-1)
x^{n+\lambda-2}+\\\\
(A_0+A_1 x+A_2 x^2+\cdots)\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n
(\lambda+n) x^{n+\lambda-2}+(B_0+B_1 x+B_2
x^2+\cdots)\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x^{n+\lambda-2}=0.
\end{array}
\end{equation*}
Per $n=0$ si ha la potenza pi\`u piccola di $x$ che \`e
$x^{\lambda-2}$. Il suo coefficiente \`e $a_0
(\lambda(\lambda-1)+A_0\lambda+B_0)$. Poich\`e $a_0\neq 0$ l'unico
modo per cui questo coefficiente si annulli \`e che
$\lambda(\lambda-1)+A_0\lambda+B_0=0$. Pi\`u in generale
considerando un punto singolare regolare $x_0$ possiamo definire
l'equazione indiciale nel seguente modo:
\begin{defn} Supponiamo che $x_0$ sia un punto singolare regolare
dell'equazione differenziale (\ref{eqdiff}) e supponiamo che
\begin{equation}
\label{series2}
\begin{array}{l}
(x-x_0)p(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty
A_n(x-x_0)^n\;\mbox{per}\;|x-x_0|<R_1,\\\\
(x-x_0)^2q(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty
B_n(x-x_0)^n\;\mbox{per}\;|x-x_0|<R_2.
\end{array}
\end{equation}
L'equazione:
\begin{equation}
\label{eqindicial} \lambda^2+(A_0-1)\lambda+B_0=0
\end{equation}
\`e detta equazione indiciale di (\ref{eqdiff}) in $x_0$.
\end{defn}
\begin{theorem}
Supponiamo che $x_0$ sia un punto singolare regolare
dell'equazione differenziale (\ref{eqdiff}) e supponiamo che gli
sviluppi in serie in (\ref{series2}) valgano. Siano $\lambda_1$ e
$\lambda_2$ due radici dell'equazione indiciale
(\ref{eqindicial}), nel caso in cui entrambe le radici siano
numeri reali con $\lambda_1\geq \lambda_2$. Allora una delle
soluzioni di (\ref{eqdiff}) \`e della forma:
\begin{equation}
\label{solution2} y_1(x)=|x-x_0|^{\lambda_1}
\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n,
\end{equation}
con $a_0=1$ ed \`e valida nell'intervallo $0<|x-x_0|< R$ con
$R=\min\{R_1,R_2\}$. La seconda soluzione linearmente indipendente
$y_2(x)$ dell'equazione (\ref{eqdiff}) nell'intervallo $0<|x-x_0|<
R$ si trova nel seguente modo:
\begin{itemize}
\item[\textbf{CASO 1:}] Se $\lambda_1-\lambda_2 \neq $ intero,
allora
\begin{equation}
\label{solution3} y_2(x)=|x-x_0|^{\lambda_2}
\displaystyle\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n,
\end{equation}
\item[\textbf{CASO 2:}] Se $\lambda_1=\lambda_2$, allora
\begin{equation}
\label{solution3} y_2(x)=y_1(x) \ln|x-x_0|+|x-x_0|^{\lambda_2}
\displaystyle\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n,
\end{equation}
\item[\textbf{CASO 3:}] Se $\lambda_1-\lambda_2$ non \`e intero, allora
\begin{equation}
\label{solution3} y_2(x)=C y_1(x) \ln|x-x_0|+|x-x_0|^{\lambda_2}
\displaystyle\sum_{n=0}^\infty b_n(x-x_0)^n,
\end{equation}
La costante $C$ pu\`o essere uguale a zero.
\end{itemize}
\end{theorem}
\begin{Ex}
Calcolare la soluzione generale dell'equazione:
\begin{equation}
\label{ex2}
 2 x^2y^{\prime\prime}+(x-x^2)y^\prime-y=0
\end{equation}
in un intorno di $x_0=0$.
\end{Ex}
\noindent \textbf{Soluzione:} In questo caso
$\alpha(x)=2x^2,\;\beta(x)=x-x^2,\;\gamma(x)=-1$.\\
Poich\`e $\alpha(0)=0$, il punto $x_0=0$ \`e un punto singolare
dell'equazione differenziale (\ref{ex2}), d'altra parte si ha che:
\begin{equation*}
(x-x_0)\displaystyle\frac{\beta(x)}{\alpha(x)}=
x\displaystyle\frac{x-x^2}{2x^2}=\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{1}{2}x
\end{equation*}
\begin{equation*}
(x-x_0)^2\displaystyle\frac{\gamma(x)}{\alpha(x)}=
x^2\displaystyle\frac{-1}{2x^2}=-\displaystyle\frac{1}{2}
\end{equation*}
sono funzioni analitiche con raggio di convergenza infinito, il
punto $x_0=0$ \`e un punto singolare regolare dell'equazione
differenziale (\ref{ex2}).
$A_0=\displaystyle\frac{1}{2},\,B_0=-\displaystyle\frac{1}{2}$,
quindi l'equazione indiciale \`e:
\begin{equation*}
2\lambda^2-\lambda-1=0
\end{equation*}
con radici $\lambda_1=1,\,\lambda_2=-\displaystyle\frac{1}{2}$.\\
\noindent Una soluzione dell'equazione (\ref{ex2}) \`e della
forma:
\begin{equation}
\label{sol1}
y_1(x)=x\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x^n,
\end{equation}
con $a_0=1$. Poich\`e
$\lambda_1-\lambda_2=\displaystyle\frac{3}{2}$, le due radici
dell'equazione indiciale non differiscono per un intero e quindi
la seconda soluzione linearmente indipendente \`e della forma:
\begin{equation}
\label{sol2}
y_2(x)=|x|^{-1/2}\displaystyle\sum_{n=0}^\infty b_n
x^n,
\end{equation}
con $b_0=1$. Poich\`e $R_1=R_2=+\infty$ la serie di potenze in
(\ref{sol1}) converge per ogni $x$. D'altra parte la serie in
(\ref{sol2}) non \`e definita per $x=0$, \`e definita
nell'intervallo $0<|x|<+\infty$.\\
\noindent Ora calcoliamo i coefficienti $a_n$ della soluzione
(\ref{sol1}). Si ha che:
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
y(x)=x\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n
x^n=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x^{n+1}\\\\
y^\prime(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+1)a_n
x^n\;e\;y^{\prime\prime}(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty n (n+1)
a_n x^{n-1}
\end{array}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
2 x^2 y^{\prime\prime}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty 2 n (n+1)
a_n x^{n+1}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty 2 n (n+1)
a_n x^{n+1}\\\\
x y^\prime=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+1)a_n x^{n+1}=a_0x+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (n+1)a_n x^{n+1}\\\\
-x^2 y^\prime=-\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+1)a_n
x^{n+2}=-\displaystyle\sum_{j=1}^\infty j a_{j-1}
x^{j+1}=-\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n a_{n-1}
x^{n+1}\;\;(n+1=j)\\\\
-y=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty -a_n
x^{n+1}=-a_0x+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty -a_n x^{n+1}
\end{array}
\end{equation*}
e sommando membro a membro otteniamo:
\begin{equation*}
0=(a_0-a_0)x+\displaystyle\sum_{n=0}^\infty
[2n(n+1)a_n+(n+1)a_n-na_{n-1}-a_n] x^{n+1}.
\end{equation*}
Uguagliando i coefficienti a zero, otteniamo la formula ricorsiva:
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
2n(n+1)a_n+(n+1)a_n-n a_{n-1}-a_n=0\;,\;n=1,2,\dots\\\\
a_n=\displaystyle\frac{n
a_{n-1}}{2n(n+1)+(n+1)-1}=\displaystyle\frac{1}{2n+3}
a_{n-1}\;,\;n=1,2,\dots
\end{array}
\end{equation*}
per $n=1:\;\;a_1=\displaystyle\frac{1}{5}a_0$\\
\noindent per $n=2:\;\;a_2=\displaystyle\frac{1}{7}a_1=\displaystyle\frac{1}{5\cdot7}a_0$\\
per
$n=3:\;\;a_3=\displaystyle\frac{1}{9}a_2=\displaystyle\frac{1}{5\cdot
7\cdot 9}a_0$\\
in generale
\begin{equation*}
a_n=\displaystyle\frac{1}{5\cdot 7\cdot 9\cdots
(2n+3)}a_0\;,\;n=1,2,\dots
\end{equation*}
Quindi una soluzione dell'equazione (\ref{ex2}) in un intorno di
$x_0$ \`e
\begin{equation*}
y_1(x)=a_0
x\left(1+\displaystyle\frac{x}{5}+\displaystyle\frac{x^2}{5\cdot
7}+\dots+\displaystyle\frac{x^n}{5\cdot 7\cdots (2n+3)}+\dots
\right)
\end{equation*}
Ora calcoliamo i coefficienti $b_n$ di $y_2$ nel caso $x>0$:
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
y_2(x)=x^{-1/2}\displaystyle\sum_{n=0}^\infty b_n
x^n=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty b_n x^{n-(1/2)}\\\\
y_2^\prime(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n-\frac{1}{2})b_n
x^{n-(3/2)}\\\\
y_2^{\prime\prime}(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty
(n-\frac{1}{2})(n-\frac{3}{2})b_n x^{n-(5/2)}
\end{array}
\end{equation*}
Quindi otteniamo:
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
2x^2y^{\prime\prime}_2=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty
2(n-\frac{1}{2})(n-\frac{3}{2})b_n x^{n-(1/2)}=\frac{3}{2}b_0
x^{(-1/2)}+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty
2(n-\frac{1}{2})(n-\frac{3}{2})b_n x^{n-(1/2)}\\\\
xy^\prime_2=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n-\frac{1}{2})b_n
x^{n-(1/2)}=-\displaystyle\frac{1}{2}b_0
x^{(-1/2)}+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty
(n-\frac{1}{2})b_n x^{n-(1/2)}\\\\
-x^2y^\prime_2=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty -(n-\frac{1}{2})b_n
x^{n+(1/2)}=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (n-\frac{3}{2})b_{n-1}
x^{n-(1/2)}\\\\
-y_2=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty -b_n x^{n-(1/2)}=-b_0
x^{-(1/2)}+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty -b_n x^{n-(1/2)}
\end{array}
\end{equation*}
sommando membro a membro:
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
0=(\displaystyle\frac{3}{2} b_0-\displaystyle\frac{1}{2}
b_0-b_0)x^{-(1/2)}+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty
[2(n-\displaystyle\frac{1}{2})(n-\displaystyle\frac{3}{2})b_n +
(n-\displaystyle\frac{1}{2})b_n -
(n-\displaystyle\frac{3}{2})b_{n-1}-b_n] x^{n-(1/2)}
\end{array}
\end{equation*}
Uguagliando ogni coefficiente a zero, otteniamo la formula
ricorsiva:
\begin{equation*}
2(n-\displaystyle\frac{1}{2})(n-\displaystyle\frac{3}{2})b_n +
(n-\displaystyle\frac{1}{2})b_n -
(n-\displaystyle\frac{3}{2})b_{n-1}-b_n=0,\;\;n=1,2,\dots
\end{equation*}
cio\`e:
\begin{equation*}
b_n=\displaystyle\frac{(n-\frac{3}{2})b_{n-1}}{2(n-\frac{1}{2})(n-\frac{3}{2})+(n-\frac{1}{2})-1}=
\displaystyle\frac{1}{2n}b_{n-1},\;\;n=1,2,\dots
\end{equation*}
per $n=1:\;\;b_1=\displaystyle\frac{1}{2}b_0$\\
per
$n=2:\;\;b_2=\displaystyle\frac{1}{2\cdot 2}b_1=\displaystyle\frac{1}{2^2\cdot 2}b_0$\\
per $n=3:\;\;
b_3=\displaystyle\frac{2}{3}b_2=\displaystyle\frac{1}{2^3\cdot
2\cdot 3}b_0$\\
in generale
\begin{equation*}
b_n=\displaystyle\frac{1}{2^n\cdot n!}b_0\;,\;n=1,2,\dots
\end{equation*}
Quindi una soluzione dell'equazione (\ref{ex2}) in un intorno di
$x_0$ \`e
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
y_2(x)=b_0
x^{-(1/2)}\left(1+\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{x^2}{2^2\cdot
2!}+\dots+\displaystyle\frac{x^n}{2^n\cdot n!}+\dots \right)\\\\
=b_0 x^{-(1/2)}\displaystyle\sum_{n=0}^\infty
\displaystyle\frac{x^n}{2^n n!}=b_0
x^{-(1/2)}\displaystyle\sum_{n=0}^\infty
\displaystyle\frac{(x/2)^n}{n!}
\end{array}
\end{equation*}
cio\`e
\begin{equation*}
 y_2(x)=b_0 x^{-1/2} e^{x/2}
 \end{equation*}
 dunque la soluzione generale \`e:
 \begin{equation*}
 y(x)=a_0 x\left(1+\displaystyle\frac{x}{5}+\displaystyle\frac{x^2}{5\cdot
7}+\dots+\displaystyle\frac{x^n}{5\cdot 7\cdots (2n+3)}+\dots
\right)+b_0 x^{-1/2} e^{x/2}.
\end{equation*}
\begin{Ex}
Trovare la soluzione generale dell'equazione:
\begin{equation}
\label{ex4}
xy^{\prime\prime}+(2-x)y^\prime+\displaystyle\frac{1}{4x}y=0
\end{equation}
in un intorno del punto $x_0=0$.
\end{Ex}
\noindent \textbf{Soluzione:} In questo caso:
\begin{equation*}
p(x)=\displaystyle\frac{\beta(x)}{\alpha(x)}=\displaystyle\frac{2-x}{x}\;
; \;
q(x)=\displaystyle\frac{\gamma(x)}{\alpha(x)}=\displaystyle\frac{1}{4x^2}
\end{equation*}
$x_0=0$ \`e un punto singolare, ma dato che:
\begin{equation*}
x p(x)=x\displaystyle\frac{2-x}{x}=2-x\; ; \; x^2
q(x)=x^2\displaystyle\frac{1}{4x^2}=\displaystyle\frac{1}{4}
\end{equation*}
si ha che $x_0=0$ \`e un punto singolare regolare, inoltre si ha
$A_0=2,\,B_0=\displaystyle\frac{1}{4}$, l'equazione indiciale \`e:
\begin{equation*}
\lambda^2+(2-1)\lambda+\displaystyle\frac{1}{4}=0
\end{equation*}
che ha una radice doppia
$\lambda_1=\lambda_2=-\displaystyle\frac{1}{2}$.\\
\noindent Quindi c'\`e una soluzione della forma:
\begin{equation*}
y_1(x)=x^{-1/2}\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n
x^n=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x^{n-(1/2)}
\end{equation*}
Otteniamo
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
y_1^\prime(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n-\frac{1}{2})a_n
x^{n-(3/2)}\\\\
y_1^{\prime\prime}(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty
(n-\frac{1}{2})(n-\frac{3}{2})a_n x^{n-(5/2)}
\end{array}
\end{equation*}
Quindi otteniamo:
\begin{equation*}
\begin{array}{lcl}
xy^{\prime\prime}_1&=&\displaystyle\sum_{n=0}^\infty
(n-\frac{1}{2})(n-\frac{3}{2})a_n x^{n-(3/2)}=\frac{3}{4}a_0
x^{(-3/2)}+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty
(n-\frac{1}{2})(n-\frac{3}{2})a_n x^{n-(3/2)}\\\\
(2-x)y^\prime_1&=&\displaystyle\sum_{n=0}^\infty
2(n-\frac{1}{2})a_n x^{n-(3/2)}-\displaystyle\sum_{n=0}^\infty
(n-\frac{1}{2})a_n
x^{n-(1/2)}=\\\\
 &=&-a_0 x^{-(3/2)}+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty
2(n-\frac{1}{2})a_n x^{n-(3/2)}-\displaystyle\sum_{n=1}^\infty
(n-\frac{3}{2})a_{n-1}x^{n-(3/2)}\\\\
\displaystyle\frac{1}{4x}y_1&=&\displaystyle\sum_{n=0}^\infty
\displaystyle\frac{1}{4}a_n x^{n-(3/2)}=\displaystyle\frac{1}{4}
a_0 x^{-(3/2)}+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty
\displaystyle\frac{1}{4} a_n x^{n-(3/2)}
\end{array}
\end{equation*}
sommando membro a membro:
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
\left(\displaystyle\frac{3}{4}-1+\displaystyle\frac{1}{4}\right)a_0
x^{-(3/2)}+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty
\left((n-\frac{1}{2})(n-\frac{3}{2})a_n+2(n-\frac{1}{2})a_n-
(n-\frac{3}{2})a_{n-1}+\displaystyle\frac{1}{4} a_n\right)
x^{n-(3/2)}=0\\\\
\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(a_n
n^2-\displaystyle\frac{2n-3}{2} a_{n-1}\right)x^{n-(3/2)}=0
\end{array}
\end{equation*}
Uguagliando i coefficienti a zero, otteniamo la formula ricorsiva:
\begin{equation*}
a_n=\displaystyle\frac{2n-3}{2n^2}a_{n-1}.
\end{equation*}
Allora una soluzione \`e:
\begin{equation*}
y_1(x)=a_0\left(x^{-(1/2)}-\displaystyle\frac{1}{2}x^{1/2}-\displaystyle\frac{1}{16}x^{3/2}+\dots\right)
\end{equation*}
Poich\`e le radici dell'equazione indiciale sono uguali c'\`e una
seconda soluzione linearmente indipendente della forma:
\begin{equation*}
y_2(x)=y_1(x)\ln x+\displaystyle\sum_{n=0}^\infty b_n x^{n-(1/2)}
\end{equation*}
Otteniamo:
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
y_2^\prime(x)=\displaystyle\frac{y_1(x)}{x}+y_1^\prime(x) \ln
x+\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n-\frac{1}{2})b_n
x^{n-(3/2)}\\\\
y_2^{\prime\prime}(x)=\displaystyle\frac{-y_1(x)}{x^2}+\displaystyle\frac{2y_1^\prime(x)}{x}+y_1^{\prime\prime}(x)
\ln x+\displaystyle\sum_{n=0}^\infty
(n-\frac{1}{2})(n-\frac{3}{2})b_n x^{n-(5/2)}
\end{array}
\end{equation*}
Quindi otteniamo:
\begin{equation*}
\begin{array}{lcl}
xy^{\prime\prime}_2&=&\displaystyle\frac{-y_1(x)}{x}+2y_1^\prime(x)+xy_1^{\prime\prime}(x)
\ln x+\displaystyle\sum_{n=0}^\infty
(n-\frac{1}{2})(n-\frac{3}{2})b_n x^{n-(3/2)}=\\\\
&=&\displaystyle\frac{-y_1(x)}{x}+2y_1^\prime(x)+xy_1^{\prime\prime}(x)
\ln x+\displaystyle\frac{3}{4}b_0
x^{(-3/2)}+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty
(n-\frac{1}{2})(n-\frac{3}{2})b_n
x^{n-(3/2)}\\\\
(2-x)y^\prime_2&=&(2-x)\left(\displaystyle\frac{y_1(x)}{x}+y_1^\prime(x)
\ln x\right)+\displaystyle\sum_{n=0}^\infty 2(n-\frac{1}{2})b_n
x^{n-(3/2)}-\\\\
&-&\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n-\frac{1}{2})b_n
x^{n-(1/2)}=\\\\
&=&(2-x)\left(\displaystyle\frac{y_1(x)}{x}+y_1^\prime(x) \ln
x\right)-b_0 x^{-(3/2)}+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty
2(n-\frac{1}{2})b_n x^{n-(3/2)}-\\\\
&-&\displaystyle\sum_{n=1}^\infty
(n-\frac{3}{2})a_{n-1}x^{n-(3/2)}\\\\
\displaystyle\frac{1}{4x}y_2&=&\displaystyle\frac{1}{4x}y_1 \ln
x+\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \displaystyle\frac{1}{4}b_n
x^{n-(3/2)}=\displaystyle\frac{1}{4x}y_1 \ln
x+\displaystyle\frac{1}{4} b_0
x^{-(3/2)}+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \displaystyle\frac{1}{4}
b_n x^{n-(3/2)}
\end{array}
\end{equation*}
Sommando membro a membro si ha:
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
\left(xy_1^{\prime\prime}+(2-x)y_1^{\prime}+\displaystyle\frac{1}{4x}
y_1(x)\right)\ln
x\\+
\displaystyle\frac{y_1(x)}{x}+2y_1^\prime(x)-y_1(x)+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty
\left(b_n n^2-\displaystyle\frac{2n-3}{2}
b_{n-1}\right)x^{n-(3/2)}=0.
\end{array}
\end{equation*}
La quantit\`a che moltiplica $\ln x$ \`e pari a zero in quanto
$y_1$ \`e soluzione dell'equazione (\ref{ex4}), quindi:
\begin{equation*}
\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(b_n
n^2-\displaystyle\frac{2n-3}{2}
b_{n-1}\right)x^{n-(3/2)}=-\displaystyle\frac{y_1(x)}{x}-2y_1^\prime(x)+y_1(x)
\end{equation*}
Uguagliando i coefficienti si ha che:
\begin{equation*}
\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \left(b_n
n^2-\displaystyle\frac{2n-3}{2}
b_{n-1}\right)x^{n-(3/2)}=2x^{-1/2}-\displaystyle{1}{4}x^{1/2}+\displaystyle{1}{384}x^{5/2}+\dots
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
b_1+\displaystyle{1}{2} b_0=2\\
4b_2-\displaystyle{1}{2} b_1=-\displaystyle{1}{4}\\
9b_3-\displaystyle{3}{2} b_2=0
\end{array}
\end{equation*}
In conclusione otteniamo scegliendo $b_0=0$:
\begin{equation*}
y_2(x)=y_1(x)\ln
x+2x^{1/2}+\displaystyle{3}{16}x^{3/2}+\displaystyle{1}{32}x^{5/2}+\dots
\end{equation*}
\begin{Ex}
Trovare una soluzione generale dell'equazione:
\begin{equation}
\label{ex5} x^2y^{\prime\prime}-(x+2)y=0
\end{equation}
in un intorno di $x_0=0$.
\end{Ex}
\noindent \textbf{Soluzione:} In questo caso $\alpha(x)=x^2$,
$\beta(x)=0$ e $\gamma(x)=-(x+2)$. Poich\`e $a_2(0)=0$, il punto
$x_0=0$ \`e un punto singolare dell'equazione differenziale
(\ref{ex5}). Si ha che:
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
(x-x_0)\displaystyle\frac{\beta(x)}{\alpha(x)}=0;\\\\
(x-x_0)^2\displaystyle\frac{\gamma(x)}{\alpha(x)}=-2-x,
\end{array}
\end{equation*}
il punto $x_0=0$ \`e un punto singolare regolare, l'equazione
indiciale \`e ($A_0=0,\,B_0=-2$):
\begin{equation*}
\lambda^2-\lambda-2=0
\end{equation*}
Le radici sono $\lambda_1=2$, $\lambda_2=-1$.\\
\noindent Una soluzione dell'equazione (\ref{ex5}) \`e del tipo:
\begin{equation*}
y_1(x)=x^{2}\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n
x^n=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x^{n+2}
\end{equation*}
Poich\`e le soluzioni differiscono per un intero la seconda
soluzione linearmente indipendente \`e della forma:
\begin{equation*}
y_2(x)=C y_1(x)\ln x+\displaystyle\sum_{n=0}^\infty b_n x^{n-1}
\end{equation*}
Calcoliamo i coefficienti $a_n$ di $y_1$. Si ha che:
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
y_1^{\prime}(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+2) a_n
x^{n+1}\\\\
y_1^{\prime\prime}(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+2)
(n+1)a_n
x^{n}\\\\
x^2y_1^{\prime\prime}(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+2)
(n+1)a_n x^{n+2}
\end{array}
\end{equation*}
Sostituendo nell'equazione ed uguagliando i coefficienti
otteniamo:
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+2) (n+1)a_n
x^{n+2}-(x+2)\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x^{n+2}=0\\\\
\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+2) (n+1)a_n
x^{n+2}-2\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n
x^{n+2}-\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x^{n+3}=0\\\\
(2a_0-2a_0)+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (n+2) (n+1)a_n
x^{n+2}-2\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n
x^{n+2}-\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_{n-1} x^{n+2}=0\\\\
\displaystyle\sum_{n=1}^\infty
((n+2)(n+1)a_n-2a_n+a_{n-1})x^{n+2}=0
\end{array}
\end{equation*}
Allora otteniamo la formula ricorsiva
\begin{equation*}
a_n=-\displaystyle\frac{1}{n(n+3)}a_{n-1}
\end{equation*}
\begin{equation*}
y_1(x)=x^2+\frac{x^3}{4}+\frac{x^4}{40}+\cdots
\end{equation*}
Ora calcoliamo i coeficienti $b_n$ di $y_2$, lo facciamo nel caso
$x>0$. Otteniamo
\begin{equation*}
y_2(x)=C
\left(x^2+\displaystyle\frac{x^3}{4}+\displaystyle\frac{x^4}{40}+\cdots\right)\ln
x+\displaystyle\sum_{n=0}^\infty b_n x^{n-1}
\end{equation*}
\begin{equation*}
y_2^{\prime}(x)=C
\left(2x+\displaystyle\frac{3}{4}x^2+\displaystyle\frac{1}{10}x^3+\cdots\right)\ln
x+C
\left(x+\displaystyle\frac{x^2}{4}+\displaystyle\frac{x^3}{40}+\cdots\right)+\displaystyle\sum_{n=0}^\infty
(n-1)b_n x^{n-2}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
y_2^{\prime\prime}(x)=C
\left(2+\displaystyle\frac{3}{2}x+\displaystyle\frac{3}{10}x^2+\cdots\right)\ln
x+C
\left(2+\displaystyle\frac{3}{4}x+\displaystyle\frac{1}{10}x^2+\cdots\right)+\\\\C
\left(1+\displaystyle\frac{1}{2}x+\displaystyle\frac{3}{40}x^2+\cdots\right)+\displaystyle\sum_{n=0}^\infty
(n-1)(n-2)b_n x^{n-3}
\end{array}
\end{equation*}
Sostituendo nell'equazione viene:
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
C \left(2x^2+\displaystyle\frac{3}{2}x^3+\cdots\right)\ln x+C
\left(3x^2+\displaystyle\frac{5}{4}x^3+\cdots\right)+\displaystyle\sum_{n=0}^\infty
(n-1)(n-2)b_n x^{n-1}-\\\\
C \left(x^3+\displaystyle\frac{x^4}{4}+\cdots\right)\ln
x+\displaystyle\sum_{n=0}^\infty b_n x^{n}-\\\\C
\left(2x^2+\displaystyle\frac{x^3}{2}+\cdots\right)\ln
x-2\displaystyle\sum_{n=0}^\infty b_n x^{n-1}=0
\end{array}
\end{equation*}
Quindi si ha:
\begin{equation*}
C\left(3x^2+\displaystyle\frac{5}{4}x^3+\cdots\right)+[(-b_0-2b_1)+(-b_1-2b_2)x-b_2x^2-\cdots]=0
\end{equation*}
uguagliando i coefficienti a zero viene:
\begin{equation*}
(-b_0-2b_1)+(-b_1-2b_2)x+(3C-b_2)x^2+\cdots=0.
\end{equation*}
Prendendo $b_0=1$ otteniamo
\begin{equation*}
b_1=-\displaystyle\frac{1}{2},\;b_2=\displaystyle\frac{1}{4},\;C=\displaystyle\frac{1}{12},\;\cdots
\end{equation*}
Dunque la seconda soluzione linearmente indipendente \`e:
\begin{equation*}
y_2(x)=\displaystyle\frac{1}{12}\left(x^2+\displaystyle\frac{x^3}{4}+\displaystyle\frac{x^4}{40}+\cdots\right)\ln
|x|+\left(\displaystyle\frac{1}{x}-\displaystyle\frac{1}{2}+\displaystyle\frac{1}{4}x+\cdots\right).
\end{equation*}
In ogni caso se $y_1$ \`e una soluzione dell'equazione
(\ref{eqdiff}), una seconda soluzione linearmente indipendente \`e
data da $y_2(x)=y_1(x)\displaystyle\int \displaystyle\frac{e^-\int
p(x)\,dx}{[y_1(x)]^2}$ che si ottiene con il metodo della
riduzione d'ordine. Infatti applicando questo metodo cerchiamo una
soluzione del tipo $y_1 v$, sostituendola nell'equazione
(\ref{eqdiff}) si ottiene:
\begin{equation*}
a_2(x)y_1(x)v^{\prime\prime}(x)+v^{\prime}(x)(2a_2y_1^{\prime}(x)+
a_1(x)y_1(x))+v(x)(a_2(x)y_1^{\prime\prime}+a_1(x)y_1^{\prime}+a_0(x)y_1(x))=0
\end{equation*}
risolvendo in termini di $v$ otteniamo:
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
\displaystyle\frac{v^{\prime\prime}(x)}{v^{\prime}(x)}=-2\displaystyle\frac{y_1^{\prime}(x)}{y_1(x)}-p(x)\\\\
\ln |v^{\prime}|=-2\ln |y_1(x)|-\displaystyle\int p(x)\,dx+C\\\\
v^{\prime}(x)=D|y_1(x)|^{-2}e^{-\int p(x)\,dx}
\end{array}
\end{equation*}
Ed infine, integrando ancora una volta ambo i membri e prendendo
$D=1$ otteniamo:
\begin{equation}
\label{solesponential}
v(x)=\displaystyle\int\frac{e^{-\int
p(x)\,dx}}{[y_1(x)]^2}\,dx
\end{equation}
\begin{Ex}
Trovare una soluzione generale di:
\begin{equation}
\label{Ex4}
x^2y^{\prime\prime}+xy^{\prime}+x^2 y=0,\,x>0.
\end{equation}
\end{Ex}
L'equazione \`e della forma
$y^{\prime\prime}+\displaystyle\frac{1}{x}y^{\prime}+y=0$, quindi
$x=0$ \`e un punto singolare regolare. Dal fatto che $x
p(x)=x(1/x)=1$ e $x^2 q(x)=x^2$, si ha che $A_0=1,\,B_0=0$, quindi
l'equazione indiciale diventa:
\begin{equation*}
\lambda(\lambda-1)+\lambda=\lambda^2-\lambda+\lambda=\lambda^2=0
\end{equation*}
quindi $\lambda_1=\lambda_2=0$.\\
\noindent Quindi c'\`e una soluzione della forma:
\begin{equation*}
y_1(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x^n
\end{equation*}
Sostituendola nell'equazione (\ref{Ex4}) troviamo:
\begin{equation*}
x^2\displaystyle\sum_{n=2}^\infty
n(n-1)a_nx^{n-2}+x\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n
a_nx^{n-1}+x^2\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_nx^{n}=0
\end{equation*}
Unificando le tre serie si ottiene:
\begin{equation*}
\displaystyle\sum_{n=2}^\infty n(n-1)a_nx^{n}+a_1
x+\displaystyle\sum_{n=2}^\infty n
a_nx^{n}+\displaystyle\sum_{n=2}^\infty a_{n-2}x^{n}=0
\end{equation*}
In questo modo otteniamo:
\begin{equation*}
a_1 x+\displaystyle\sum_{n=2}^\infty (n(n-1)a_n+n
a_n+a_{n-2})x^n=0
\end{equation*}
Uguagliando i coefficienti a zero otteniamo la formula ricorsiva:
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
a_1=0;\\
a_n=-\displaystyle\frac{1}{n^2} a_{n-2}
\end{array}
\end{equation*}
Quindi scegliendo $a_0=1$ una soluzione \`e
$y_1(x)=1-\displaystyle\frac{x^2}{4}+\displaystyle\frac{x^4}{64}+\dots$.
Usiamo la formula (\ref{solesponential}) per determinare una
seconda soluzione linenarmente indipendente:
\begin{equation*}
y_2(x)=y_1(x)\displaystyle\int\frac{e^{-\int
1/x\,dx}}{\left(1-\displaystyle\frac{x^2}{4}+\displaystyle\frac{x^4}{64}+\dots\right)^2}\,dx
\end{equation*}
Svolgendo l'integrale al numeratore otteniamo:
\begin{equation*}
y_2(x)=y_1(x)\displaystyle\int\frac{x^{-1}}{\left(1-\displaystyle\frac{x^2}{4}+\displaystyle\frac{x^4}{64}+\dots\right)^2}\,dx
\end{equation*}
Svolgendo il quadrato al denominatore otteniamo:
\begin{equation*}
y_2(x)=y_1(x)\displaystyle\int\frac{x^{-1}}{\left(1-\displaystyle\frac{x^2}{2}+\displaystyle\frac{3
x^4}{32}+\dots\right)}\,dx
\end{equation*}
Dopo aver fatto la divisione di polinomi e risolvendo l'integrale
otteniamo:
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
y_2(x)=y_1(x)\displaystyle\int\frac{x^{-1}}{\left(1-\displaystyle\frac{x^2}{2}+\displaystyle\frac{3
x^4}{32}+\dots\right)}\,dx=y_1(x)\displaystyle\int\frac{1}{x}\left(1+\displaystyle\frac{x^2}{2}+\displaystyle\frac{5
x^4}{32}+\dots\right)\,dx=\\\\
y_1(x)\displaystyle\int\left(\frac{1}{x}+\displaystyle\frac{x}{2}+\displaystyle\frac{5
x^3}{32}+\dots\right)\,dx=y_1(x)\left(\ln
x+\displaystyle\frac{x^2}{4}+\displaystyle\frac{5
x^4}{128}+\dots\right)
\end{array}
\end{equation*}
Notiamo che con questo metodo alternativo per trovare una seconda
soluzione linearmente indipendente, si ottiene una soluzione della
forma che si era trovata nel terzo caso del Teorema.\\
\noindent Una soluzione generale dell'equazione (\ref{Ex4}) \`e
$y_(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)$, con $c_1,\,c_2$ costanti arbitrarie.
\section{Applicazioni:} Il metodo di Frobenius \`e un metodo utile
per risolvere alcune equazioni differenziali che compaiono spesso
nelle applicazioni. Una di queste \`e l'equazione di Bessel di
ordine $p$, che \`e una equazione differenziale della forma:
\begin{equation}
\label{Bessel} x^2y^{\prime\prime}+xy^{\prime}+(x^2-p^2)y=0,
\end{equation}
dove $p$ \`e una costante.\\
\noindent Vediamo come l'equazione di Bessel appare nella
soluzione di problemi specifici.\\
\noindent Supponiamo di sapere la distribuzione della temperatura
in un cilindro al tempo $t=0$, allora si ha che la temperatura
$u=u(r,\theta,t)$ nel punto $(r,\theta)$ in ogni istante $t$
soddisfa la seguente equazione differenziale alle derivate
parziali in coordinate polari:
\begin{equation*}
\label{tempeq}
u_{rr}+\displaystyle\frac{1}{r}u_r+\displaystyle\frac{1}{r^2}u_{\theta\theta}=\displaystyle\frac{1}{k}u_t.
\end{equation*}
In questo caso abbiamo supposto che la temperatura sia
indipendente dall'altezza del cilindro, la quantit\`a $k$
nell'equazione \`e una costante che dipende dalla conduttivit\`a
termica e, in generale, dal materiale usato nel costruire il
cilindro. Usiamo il metodo della separazione di variabili per
risolvere l'equazione. Seguendo questo metodo supponiamo che
esista una soluzione $u(r,\theta,t)$ dell'equazione che sia il
prodotto di una funzione di $r$, di una funzione di $\theta$ e di
una funzione di $t$. Cio\`e:
\begin{equation*}
u(r,\theta,t)=R(r)\Theta(\theta)T(t),
\end{equation*}
Dove $R,\Theta,T$ sono funzioni incognite. Sostituendo $u$ in
(\ref{tempeq}), otteniamo:
\begin{equation*}
R^{\prime\prime}\Theta T+\displaystyle\frac{1}{r} R^{\prime}\Theta
T+\displaystyle\frac{1}{r^2} R\Theta^{\prime\prime}
T=\displaystyle\frac{1}{k} R\Theta T^{\prime}.
\end{equation*}
Possiamo scrivere l'equazione nel modo seguente:
\begin{equation*}
r^2\displaystyle{R^{\prime\prime}}{R}+r\displaystyle{R^{\prime}}{R}-
\displaystyle{r^2}{k}\displaystyle{T^{\prime}}{T}=-\displaystyle{\Theta^{\prime\prime}}{\Theta}.
\end{equation*}
Il primo membro \`e una funzione indipendente dalla variabile
$\theta$ mentre il secondo membro \`e una funzione della sola
$\theta$. Quindi devono essere entrambi uguali ad una costante che
chiameremo $p^2$. Quindi otteniamo le equazioni:
\begin{equation}
\label{eqteta} \Theta^{\prime\prime}+p^2\Theta=0
\end{equation}
e
\begin{equation*}
r^2\displaystyle\frac{R^{\prime\prime}}{R}+r\displaystyle\frac{R^{\prime}}{R}-
\displaystyle{r^2}{k}\displaystyle\frac{T^{\prime}}{T}=p^2
\end{equation*}
oppure in maniera analoga:
\begin{equation}
\label{eqrt}
\displaystyle\frac{R^{\prime\prime}}{R}+\displaystyle\frac{1}{r}\displaystyle\frac{R^{\prime}}{R}-
\displaystyle\frac{p^2}{r^2}=\displaystyle\frac{1}{k}\frac{T^{\prime}}{T}.
\end{equation}
Ora il primo membro dell'equazione (\ref{eqrt}) \`e una funzione
solo di $r$, mentre il secondo membro \`e una equazione solo di
$t$, quindi ambo i membri devono essere uguali a una costante, che
chiameremo $-\lambda^2$. Cos\`i otteniamo:
\begin{equation}
\label{eqt} T^{\prime}+\lambda^2kT=0
\end{equation}
e
\begin{equation}
\label{eqr} r^2 R^{\prime\prime}+rR^\prime+(\lambda^2r^2-p^2)R=0.
\end{equation}
Le funzioni $\Theta(\theta)$ e $T(t)$ si trovano risolvendo le
semplici equazioni differenziali (\ref{eqteta}) e (\ref{eqt}). Per
trovare $R(r)$ bisogna risolvere (\ref{eqr}), che, come si vede,
\`e un'equazione di Bessel. Facciamo la trasformazione $x=\lambda
r$ e poniamo $y(x)=R(r)$, otteniamo:
\begin{equation*}
R^{\prime}=\displaystyle\frac{dR}{dx}\cdot\displaystyle\frac{dx}{dr}=\lambda
y^\prime=\displaystyle\frac{x}{r}y^\prime\;\;e\;\;R^{\prime\prime}=\displaystyle\frac{d}{dx}(\lambda
y^\prime)\displaystyle\frac{dx}{dr}=\lambda^2y^{\prime\prime}=\displaystyle\frac{x^2}{r^2}y^{\prime\prime}.
\end{equation*}
Sostituendo $R^\prime$ e $R^{\prime\prime}$ in (\ref{eqr} troviamo
l'equazione di Bessel (\ref{Bessel}), che ora risolveremo in un
intorno del punto $x=0$. Supponiamo per semplicit\`a che $p\geq
0$, si ha che:
\begin{equation*}
\alpha(x)=x^2,\;\beta(x)=x,\;\gamma(x)=x^2-p^2.
\end{equation*}
Poich\`e $\alpha(0)=0$ si ha che $x=0$ \`e un punto singolare. Ma
\begin{equation*}
x\displaystyle\frac{\beta(x)}{\alpha(x)}=1\;e\;x^2\displaystyle\frac{\gamma(x)}{\alpha(x)}=-p^2+x^2,
\end{equation*}
Cos\`i $x=0$ \`e un punto singolare regolare con equazione
indiciale $\lambda^2-p^2=0$. Le due soluzioni dell'equazione
indiciale sono $\lambda_1=p,\,\lambda_2=-p$, quindi una soluzione
dell'equazione di Bessel \`e della forma:
\begin{equation}
y_1(x)=|x|^p\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x^n
\end{equation}
le soluzioni di (\ref{Bessel}) hanno senso per $|x|>0$, cio\`e per
$x>0,\,x<0$. La seconda soluzione dipende dal valore di
$\lambda_1-\lambda_2=2p$, \`e data da:
\begin{itemize}
\item[Caso 1.] Se $2p\neq\mbox{intero}$, allora
$y_2(x)=|x|^{-p}\displaystyle\sum_{n=0}^\infty b_n x^n$;
\item[Caso 2.] Se $p=0$ allora

\begin{equation}
\label{y21}
y_2(x)=y_1(x)\ln
|x|+|x|^p\displaystyle\sum_{n=0}^\infty b_n x^n;
\end{equation}
\item[Caso 3.] Se $2p=\mbox{intero positivo}$, allora
\begin{equation}
\label{y22} y_2(x)=C y_1(x)\ln
|x|+|x|^{-p}\displaystyle\sum_{n=0}^\infty b_n x^n.
\end{equation}
\end{itemize}
Calcoliamo i coefficienti $a_n$, abbiamo $x>0$
\begin{equation*}
y_1(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n
x^{n+p},\;y_1^\prime(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+p)a_n
x^{n+p-1},
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
y_1^{\prime\prime}(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty
(n+p)(n+p-1)a_n x^{n+p-2}\\\\
x^2y_1^{\prime\prime}(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty
(n+p)(n+p-1)a_n x^{n+p}\\\\
xy_1^\prime(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+p)a_n x^{n+p}\\\\
x^2y_1(x)=\displaystyle\sum_{n=2}^\infty a_{n-2}
x^{n+p}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n x^{n+p}\\\\
-p^2y_1(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty -p^2a_n x^{n+p}
\end{array}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
[p(p-1)a_0+pa_0-p^2a_0]x^p+[(1+p)pa_1+(1+p)a_1-p^2a_1]x^{1+p}+\\\\\displaystyle\sum_{n=2}^\infty
[(n+p)(n+p-1)a_n+(n+p)a_n+a_{n-2}-p^2a_n)] x^{n+p}
\end{array}
\end{equation*}
Questo implica
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
(1+2p)a_1=0\;\mbox{e}\\
n(n+2p)a_n+a_{n-2}=0\;n=2,3,\dots
\end{array}
\end{equation*}
Quindi otteniamo
\begin{equation*}
a_1=0\;\mbox{e}a_n=-\displaystyle\frac{1}{n(n+2p)}a_{n-2}\;n=2,3,\dots
\end{equation*}
Questo implica:
\begin{equation*}
\begin{array}{l}
a_1=a_3=a_5=\cdots=0\;\mbox{e}\\
a_{2n}=(-1)^n\displaystyle\frac{1}{2^{2n}n!(p+1)(p+2)\cdots(p+n)}a_0\;n=2,3,\dots
\end{array}
\end{equation*}
Quindi la soluzione \`e data da:
\begin{equation*}
y_1(x)=a_0|x|^p\left[1+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{2^{2n}n!(p+1)(p+2)\cdots(p+n)}x^{2n}\right]
\end{equation*}
e la serie converge per ogni $x$.\\
\noindent Se $2p\neq\mbox{intero}$ una seconda soluzione
linearmente indipendente pu\`o essere trovata se sostituiamo $-p$
con $p$ nell'equazione precedente, cio\`e:
\begin{equation*}
y_1(x)=a_0|x|^{-p}\left[1+\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{2^{2n}n!(p+1)(p+2)\cdots(p+n)}x^{2n}\right]
\end{equation*}
e la serie converge per $x>0$ o $x<0$.\\
\noindent Nella teoria delle funzioni di Bessel la costante $a_0$
si prende uguale a
\begin{equation*}
a_0=\displaystyle\frac{1}{2^p\Gamma(p+1)}
\end{equation*}
Dove $\Gamma$ \`e la funzione gamma cio\`e la funzione definita
dall'integrale:
\begin{equation*}
\Gamma(p)=\displaystyle\int_0^\infty x^{p-1}e^{-x}\,dx
\end{equation*}
Con questa scelta di $a_0$la soluzione $y_1$ \`e detta la funzione
di Bessel del primo tipo di ordine $p$ ed si indica con $J_p(x)$.
Se usiamo l'identit\`a
\begin{equation*}
\Gamma(n+p+1)=(n+p)(n+p-1)\cdots(p+2)(p+1)\Gamma(p+1)
\end{equation*}
si ottiene la formula
\begin{equation*}
J_p(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!\Gamma(n+p+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2n+p}
\end{equation*}
la soluzione $y_2$ con $a_0$ definito da:
\begin{equation*}
a_0=\displaystyle\frac{1}{2^{-p}\Gamma(-p+1)}
\end{equation*}
\`e una soluzione di Bessel del primo tipo di ordine $-p$ e si
denota con $J_{-p}(x)$, chiaramente
\begin{equation*}
J_{-p}(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n!\Gamma(n-p+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2n-p}
\end{equation*}
Allora $j_p(x)$ \`e sempre una soluzione dell'equazione di Bessel.
Inoltre quando $2p$ non \`e un intero le funzioni $J_p(x)$ e
$J_{-p}(x)$sono soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione
di Bessel. Se $p=0$ e osservando che $\Gamma(n+1)=n!$, otteniamo:
\begin{equation*}
J_{0}(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(n!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2n}
\end{equation*}
La funzione $J_0(x)$ \`e una soluzione dell'equazione di Bessel
con $p=0$.\\
\noindent Quando $p=0$ oppure quando $2p$ \`e un intero positivo
la seconda soluzione linearmente indipendente \`e della forma
\ref{y21} oppure \ref{y22} rispettivamente e pu\`o essere ottenuta
con una sostituzione diretta nell'equazione. Una tale soluzione
con una appropriata scelta della costante $b_0$ \`e detta funzione
di Bessel del secondo tipo.


\end{document}
