PROGRAMMA

Anno accademico: 2006-2007 Facoltà: Economia Insegnamento: Metodi Matematici Corso di Laurea: Economia Aziendale (Empoli) Docente: CARLA DIONISI Modalità didattiche: 90 ore tra lezioni ed esercitazioni. (9 crediti formativi)

(1) I numeri.

• Cenni di teoria degli insiemi.

• Sommatorie, progressione geometrica, formula di Newton

• Numeri reali (definizione assiomatica)

• Numeri naturali, interi, razionali.

• Numeri complessi

• Principio di induzione.

(2) Funzioni reali di una variabile reale. • Funzioni e rappresentazione cartesiana.

• Funzioni limitate, pari e dispari, monotòne, periodiche.

• Funzioni lineari. Funzione valore assoluto.

• Funzioni elementari: funzioni potenza, esponenziale e logaritmo, funzioni trigonometriche, funzioni iperboliche.

• Operazioni sui grafici.

• Operazioni algebriche tra funzioni. Composizione di funzioni. Funzione Identita’. Funzioni iniettive, suriettive e biettive. Funzioni invertibili. Funzioni Inverse.

• Relazione tra il grafico di f(x) e il grafico di f^{−1}(x): grafici simmetrici rispetto alla bisettrice del I e del III quadrante.

• Applicazioni, Esempi ed Esercizi.

(3) Successioni e limiti di successioni. • Definizioni e prime proprietà.

• Successioni limitate.

• Operazioni con i limiti.

• Forme indeterminate.

• Teoremi di confronto (teorema della permanenza del segno e teorema dei due carabinieri)

• Altre proprietà dei limiti di successioni.

• Alcuni limiti notevoli.

• Successioni monotòne. Il numero e.

• Applicazioni, Esempi ed Esercizi.

(4) Limiti di funzioni e funzioni continue. • Definizioni, esempi e proprietà dei limiti di funzioni.

• Funzioni continue.

• Funzioni discontinue: discontinuita’ di I e di II specie e discontinuita’ eliminabile.

• Teoremi sulle funzioni continue: Teorema di permanenza del segno, dell’esistenza degli zeri, Teorema dell’esistenza dei valori intermedi, teorema di Weiestrass sull’esistenza di massimo e minimo.

• Applicazioni, Esempi ed Esercizi.

(5) Derivazione.

• La Derivata come variazione.

• Interpretazioen geometrica della derivata.

• Definizione di derivata.

• Legame tra derivabilità e continuità.

• Punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale.

• Derivate successive.

• Algebra delle derivate.

• La derivazione delle funzioni composte e delle funzioni inverse.

• Derivate di alcune funzioni elementari.

• Applicazioni, Esempi ed Esercizi.

(6) Applicazioni delle derivate. Studio di funzioni. • Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat.

• Teoremi di Rolle e Lagrange.

• Funzioni crescenti e decrescenti.

• Funzioni convesse e concave.

• Il teorema di de l’Hôpital.

• Studio grafico di una funzione.

• Problemi di ottimizzazione.

• Calcolo differenziale e approsimazioni.

• Polinomi di Taylor.

• Ottimizzazione.

• Applicazioni, Esempi ed Esercizi.

(7) Integrali definiti e indefiniti.

• Introduzione al calcolo integrale.

• L’integrale come limite di somme.

• L’Integrale come area.

• Proprietà dell’integrale. Teorema della media.

• Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale.

• Primitive. Formula fondamentale del calcolo integrale.

• L’integrale indefinito.

• Integrazione per decomposizione in somma.

• Integrazione delle funzioni razionali.

• Integrale per parti.

• Integrazione per sostituzione.

• Calcolo di aree di figure piane.

• Funzioni integrali.

• Secondo Teorema fondamentale del calcolo integrale.

• Applicazioni, Esempi ed Esercizi.

(8) Serie.

• Serie numeriche

• Serie a termini non negativi

• La serie geometrica

• La serie armonica

• Criteri di convergenza.

• Serie a termini di segno variabile. Convergenza assoluta. Criterio di Liebnitz.

• Serie di Taylor.

• Applicazioni, Esempi ed Esercizi.

(9) Matrici, determinati e sistemi lineari.

• Matrici e operazioni con le matrici.

• Determinanti. Matrici inverse.

• Rango di una matrice.

• Sistemi lineari omogenei e nonomogenei.

• Teorema di Cramer. Metodo di Eliminazione di Gauss. Teorema di Rouchè-Capelli.

• Matrici e trasformazioni lineari. Nucleo e Immagine.

• Autovalori.

• Applicazioni, Esempi ed Esercizi.

(10) Calcolo Combinatorico e cenni di Calcolo delle Probabilità.

• Disposizioni semplici. Permutazioni. Disposizioni con ripetizione. Combinazioni semplici. Combinazioni con ripetizione.

• Binomio di Newton.

• Introduzione al concetto di probabilità.

• Eventi e probabilità.

• Distribuzione binomiale.

• Probabilità condizionata e indipendente.

• Variabili aleatorie.

• Distribuzione di probabilità e funzione di distribuzione.

• Valor medio e varianza.

• Legge dei grandi numeri.

• Applicazioni, Esempi ed Esercizi.

Testi consigliati

P.Marcellini, C. Sbordone: Elementi di Calcolo, Liguori Ed. M.Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa: Matematica: Calcolo infinitesimale e alge-

bra lineare, seconda edizione, Zanichelli Ed. P.Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di Matematica vol.1, Liguori Ed.