Resoconto della "Gara Matematica"
del 14 Aprile 2003
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Un mondo è costituito da 64 cellette, ognuna occupata da un esemplare
di uno dei due tipi di esseri viventi, i predatori e le prede. La tipica
giornata di questo mondo è la seguente.
| Mattino: |
Ogni predatore divora una preda; i predatori a digiuno muoiono. |
| Pomeriggio: |
I predatori formano delle coppie ed ognuna genera un nuovo predatore. |
| Sera: |
Le prede si moltiplicano occupando le cellette lasciate libere dai
predatori. |
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Supponiamo che il primo giorno ci siano esattamente 2 predatori, le altre
cellette essendo occupate dalle prede. Mostrare che i predatori non si
estingueranno mai.
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Mostrare che i predatori non si estingueranno mai qualunque sia il loro
numero iniziale, purché ci sia inizialmente almeno una preda.
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Consideriamo due ruote dentate, la più grande A con a denti e la
più piccola B con b denti. In prossimità del bordo della ruota B
vi è un piccolo foro nel quale viene introdotta una penna. Tenendo
ferma A e ruotando B si disegna una curva (detta epicicloide).
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Mostrare che dopo un certo numero di giri la curva si chiude.
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Dopo quanti giri completi di B attorno ad A si chiude la curva?
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La curva chiusa ottenuta risulta avere un certo numero di "punte" verso
l'interno (vedi figura). Quante sono queste punte?
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Nella città di Cerchiotondo tutte le strade sono o rette passanti per
la piazza centrale oppure circonferenze centrate nella piazza. Dati due punti
qualunque della città (supponiamo per semplicità che entrambi i
punti si trovino ad un incrocio) descrivere il percorso più breve che
li congiunge.
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I vertici di un ettagono regolare sono colorati rosso o blu.
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Mostrare che comunque li si colorino esisteranno sempre tre vertici dello
stesso colore che formano un triangolo isoscele.
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Mostrare che la stessa affermazione vale se si parte da un qualunque
poligono regolare con un numero dispari di lati maggiore o uguale a cinque.
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Per quali poligoni regolari vale l'affermazione?
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