Calcolo delle Variazioni
A.A. 2008/2009-2009/2010-2010-2011
Descrizione del corso: Per una
descrizione del corso si veda l'introduzione delle dispense (.ps e
.pdf)
Prerequisiti: Si assume che lo studente abbia familiarità con la misura di Lebesgue e
gli spazi Lp. Qualche conoscenza di base in Analisi Funzionale aiuta a
contestualizzare i contenuti del corso. Si consiglia pertanto di frequentare
Calcolo delle Variazioni dopo aver seguito le due Istituzioni di Analisi
Superiore e, possibilmente, ma non obbligatoriamente, Analisi Funzionale.
PROGRAMMA:
Preliminari di teoria della misura: Teorema di
ricoprimento di Vitali. Funzione massimale e teorema di Hardy-Littlewood.
Teorema dei punti di Lebesgue. Convoluzione e regolarizzazione.
Funzioni di Sobolev (teoria locale):
Gradiente distribuzionale e funzioni di Sobolev. Regolarizzazione delle funzioni
di Sobolev e conseguenze. Funzioni di Sobolev in R. Teoremi di Rademacher,
Morrey e Sobolev. Lo spazio W^{1,p}_0. Immersioni compatte.
Esistenza di minimi Lipschitziani: Principio del
massimo. Condizione di pendenza limitata e barriere. Esistenza e non-esitenza di
minimi per il funzionale dell'area.
Esistenza di minimi negli spazi
di Sobolev:
Funzionali convessi. Semicontinuità inferiore. Esistenza di minimi per il
problema di Dirichlet in crescita superlineare ed equazione di Eulero-Lagrange.
Funzionali quadratici ed equazioni ellittiche in forma di divergenza.
Funzioni di Sobolev (teoria globale): Aperti
regolari. Teoremi di estensione, approssimazione globale e compattezza.
Disuguaglianze di Poincaré. Valori al bordo ed operatori di traccia.
Regolarità: Funzionali quadratici ed
equazioni ellittiche in forma di divergenza. Teorema dei rapporti incrementali.
Disuguaglianza di Caccioppoli. Equazione ellittica per il gradiente di un minimo.
Equazioni ellittiche a coefficienti costanti. Oscillazione media Lp,
holderianità e Teorema di Schauder. Classi di De Giorgi e teorema di De Giorgi-Nash.
Soluzione del XIX problema di Hilbert.
Ultimo aggiornamento: 22 Settembre 2010.
A.A. 2007/2008
Programma:
Introduzione: Problema di Dirichlet. Funzionale di Dirichlet e
funzionale dell'area. Derivazione formale dell'equazione di Eulero-Lagrange.
Funzionali convessi. Esempio di Weirstrass. Principio di Dirichlet. Metodo
diretto.
Riferimenti: [A, BGH, D1, D2, Gi, Mar].
Il problema di Dirichlet nella classe delle
funzioni lipschitziane: Funzioni Lipschitziane, proprietà generali. Lemma di
MacShane. Compattezza, semicontinuità ed esistenza di minimi in Lip_M(\Omega).
Super-minimi, sub-minimi, principio del massimo. Stima al bordo di Haar-Radò.
Condizione di pendenza limitata: condizioni necessarie, sufficienti, ed
esistenza di minimi in Lip(\Omega).
Riferimenti: [Gi1, GM].
Misure di Radon: Misure esterne. Teoremi di Caratheodory. Misure
di Borel e di Radon. Approssimazione con compatti ed aperti. Teorema di Lusin.
Approssimazione con funzioni continue in norma L^p. Teorema di rappresentazione
di Riesz. Convergenza debole di misure, esempi. Teorema di compattezza. Misure
vettoriali. Variazione totale. Decomposizione di Hahn. Misure mutualmente
singolari e assolutamente continue. Teorema di Jordan, parte positiva e negativa
di una misura. Teorema di ricoprimento di Besicovitch (senza dimostrazione). Derivazione delle misure
di Radon. Teorema di derivazione di Lebesgue-Besicovitch. Teorema dei punti di
Lebesgue. Teorema di polarizzazione. Semicontinuità inferiore della variazione
totale. Convergenza debole di misure vettoriali: compattezza e varie proprietà.
Regolarizzazione di misure di Radon. Teorema di Lebesgue per le funzioni
monotone.
Riferimenti: [A, EG, Fo] e dispense del corso.
Insiemi di perimetro finito: Insiemi di perimetro
finito. Teorema di Gauss-Green distribuzionale. Caratterizzazione del perimetro.
Teorema di semicontinuità. Teorema di compattezza. Esistenza di superfici di
area minima e a curvatura media prescritta. Formula di Coarea per la variazione
totale. Teorema di Morse-Sard. Approssimazione di insiemi di perimetro finito
con insiemi regolari. Perimetro distribuzionale come estensione semicontinua del
perimetro classico. Insiemi di perimetro finito nella retta. Densità di un
punto. Teorema di struttura di De Giorgi (senza dimostrazione) ed esempi.
Riferimenti: [A, AFP, DG1, DG2, EG, Fu, Gi2] e dispense del corso.
Disuguaglianze geometriche: Simmetrizzazione di Steiner.
Disuguaglianza di Steiner. Disuguaglianza isoperimetrica.
Riferimenti: [DG2, Fu, Ma, Ta].
Funzioni a variazione totale limitata e funzioni di Sobolev: Gradiente
distribuzionale. Spazi BV e spazi di Sobolev. Esempi critici. Convergenza delle
convoluzioni su R^n.. Funzioni di Sobolev e funzioni Lipschitziane. Teorema di
Rademacher. Derivazione di un prodotto. Chain Rule e conseguenze. Teorema
di Meyers-Serrin. Disuguaglianza di Sobolev in BV e casi di uguaglianza.
Disuguaglianza di Sobolev in W^{1,p}, 1<p<n. Disuguaglianze di Morrey per
W^{1,p}, p>n. Sommabilità delle funzioni W^{1,n}(R^n). Domini con bordo C^1:
approssimazione con funzioni regolari fin sul bordo e teorema di traccia.
Disuguaglianza di Poincaré e teorema di compattezza in W^{1,p}_0(\Omega).
Riferimenti: [AFP, E, EG] e dispense del corso.
Il problema di Dirichlet nella classe delle funzioni di Sobolev:
Problema di Dirichlet per problemi variazionali e per equazioni ellittiche in
forma debole: teoremi di esistenza negli spazi di Sobolev. Teorema dei rapporti
incrementali. Disuguaglianza di Caccioppoli. Equazione di Eulero-Lagrange per il
minimo ed equazioni ellittiche in forma debole per il gradiente del minimo.
Mediane e disuguaglianze di Poincarè sulle sfere. Regolarità delle soluzioni di
un'equazione ellittica a coefficienti costanti. Regolarità per le soluzioni di
un'equazione ellittica a coefficienti misurabili e limitati (teorema di De
Giorgi-Nash). Regolarità C^{1,\alpha}interna per minimi di problemi
variazionali.
Riferimenti: [GM, Gi1] e dispense del corso.
Bibliografia:
[A] Ambrosio L., Corso introduttivo alla teoria geometrica della misura e
alle superfici minime, Appunti SNS Pisa.
[AFP] Ambrosio L., Fusco N., Pallara D.,
Functions of bounded variation and free discontinuity problems.
Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University
Press, New York, 2000.
[BGH] Buttazzo G., Giaquinta M., Hildebrandt S.,
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Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications, 15. The
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[D1] Dacorogna B., Direct methods in the
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[D2] Dacorogna B.,
Introduction to the calculus of variations. Translated from the 1992
French original. Imperial College Press, London, 2004.
[DG1] De Giorgi E., Su una teoria generale della misura
$(r-1)$-dimensionale in uno spazio ad $r$ dimensioni. (Italian)
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[DG2] De Giorgi E., Sulla proprietà isoperimetrica dell'ipersfera, nella
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(Italian) Atti Accad. Naz. Lincei. Mem. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat. Sez. I (8)
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[DG3] De Giorgi E., Sull'analiticità delle estremali degli integrali
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Nat. (8) 20 (1956), 438--441.
[E] Evans L. C., Partial differential equations.
Graduate Studies in Mathematics, 19. American Mathematical Society,
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[EG] Evans L. C., Gariepy R. G., Measure theory and fine
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[Fo] Folland G. B., Real analysis. Modern techniques and their
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[Fu] Fusco N., The classical isoperimetric theorem.
Rend. Accad. Sci. Fis. Mat. Napoli (4)
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[GM] Giaquinta M., Martinazzi L., An introduction to the
regularity theory for elliptic systems, harmonic maps and minimal graphs.
Appunti. Scuola Normale Superiore di Pisa (Nuova Serie) [Lecture Notes. Scuola
Normale Superiore di Pisa (New Series)], 2. Edizioni della Normale,
Pisa, 2005.
[Gi1] Giusti E., Metodi diretti nel calcolo delle
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[Gi2] Giusti E., Minimal surfaces and functions of
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Monographs in Mathematics, 80. Birkhäuser Verlag, Basel, 1984.
[Ma] Maggi F., Some methods for studying stability in isoperimetric type
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[Mar] Marcellini P., Some recent developments in the
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(Italian)
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[Ta] Talenti G., The standard isoperimetric theorem.
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Amsterdam, 1993
Ultimo aggiornamento: 26 Dicembre 2008.