Analisi Matematica I: Calcolo Integrale

Corso di Laurea e di Diploma in Informatica

Primavera 2000

Testi di riferimento

• Marcellini-Sbordone, Analisi Matematica I, Liguori editore, Napoli.
• Marcellini-Sbordone, Esercitazioni di Analisi Matematica, Vol. 1, parte 1 e 2, Liguori editore, Napoli.

Programma (provvisorio, scaricabile in formato.ps e in formato.pdf )

Integrali indefiniti (The rise of calculus)
• Definizione di primitiva e di integrale indefinito. Integrali delle funzioni elementari.
• Regole d'integrazione indefinita: linearità, integrazione per parti ed per sostituzione.
• Integrazione delle funzioni razionali. Integrazione di alcune espressioni trigonometriche ed irrazionali.

Integrali definiti

• L'area del segmento di parabola. (Archimede)
• Definizione di integrabilità e di integrale esteso ad un intervallo.
• Condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità.
• Proprietà dell'integrale definito (linearità, monotonia,...)
• Funzioni uniformemente continue. Teorema di Heine - Cantor. Integrabilità di funzioni continue.
• Teorema della media integrale.
• Teorema fondamentale del calcolo integrale.
• Applicazioni: calcolo di aree di figure piane, calcolo di volumi. Il principio di Cavalieri.
• Integrali impropri su domini limitati e non. Criterio di McLaurin per la convergenza delle serie

Formula di Taylor

• La formula di Taylor con il resto integrale.
• Resto di Peano e di Lagrange.
• Calcolo di limiti e derivate con la formula. Approssimazione.

Numeri complessi

• Coniugato e modulo di un numero complesso e loro proprietà.
• Forma cartesiana e forma trigonometrica di un numero complesso.
• Radice n-sima di un numero complesso.
• Applicazione al calcolo dell'integrale definito di espressioni razionali.

Risoluzione di alcune semplici equazioni differenziali ordinarie

• Equazioni lineari.
• Equazioni a variabili separabili e generalizzazioni.
• Equazioni di Bernoulli.
• Condizioni iniziali.
• Metodo della riduzione dell'ordine per equazioni lineari del secondo ordine.

Funzioni di più variabili reali

• Cenni di geometria analitica nello spazio.
• Il prodotto scalare e la disuguaglianza di Cauchy- Schwarz.
• Norma di un vettore, disuguaglianza triangolare e definizione di intorno.
• Alcune disequazioni nel piano.
• Cenni sulla continuità di funzioni di più variabili.
• Derivate parziali.
• Il piano tangente.
• Risoluzione di alcuni semplici problemi di minimo.

Vecchi compiti e test

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