Programma del Corso di Dottorato 2008

Programma di

Proprietà geometriche delle soluzioni di equazioni ellittiche e paraboliche

Dottorato in Matematica

Primavera 2008

Complementi

Identità integrali: teorema della divergenza, formule di Gauss-Green, identità di Pohozaev.

Medie sferiche e loro applicazioni: proprietà della media.

Funzioni armoniche nel piano e funzioni olomorfe. Richiami: il principio dell’argomento ed il teorema della mappa di Riemann.

Prerequisiti di geometria differenziale: la funzione distanza.

Il principio di massimo per equazioni ellittiche e paraboliche.

Operatori ellittici.

Il principio di massimo debole.

Il lemma di Hopf ed il principio di massimo forte.

Il principio di massimo per domini sottili.

Il principio di massimo per operatori parabolici.

Applicazioni del principio di massimo.

Teoremi di unicità per problemi al contorno per equazioni ellittiche e paraboliche.

Potenziale di capacità in un anello stellato.

Curvatura delle curve equipotenziali di un potenziale di capacità.

Il principio di massimo per la funzione concavità e sue applicazioni.

Metodo dei piani mobili e superfici parallele alla frontiera.

Metodo dei piani mobili: un problema sovradeterminato in teoria del potenziale.

Metodo dei piani mobili: simmetria delle soluzioni positive di un’equazione semilineare.

La proprietà della media per funzioni armoniche caratterizza le sfere.

Funzione P di Payne e sue applicazioni.

Punti critici delle soluzioni di equazioni ellittiche e paraboliche.

Punti critici di un potenziale di capacità nel piano.

Punti critici di una funzione armonica nel piano.

Punti critici delle soluzioni di equazioni ellittiche nel piano.

Punti critici delle soluzioni di equazioni (ellittiche) semilineari nel piano.

Esempi di funzioni armoniche e dei loro punti critici nello spazio.

Equazione del calore: proprietà della media nei punti invarianti.

Comportamento asintotico delle soluzioni dell’equazione del calore per tempi grandi e piccoli.

Superfici isotermiche invarianti.

Materiale didattico scaricabile

Dispense del corso manoscritte

Materiale seminari

Bibliografia del corso