Programma di
Equazioni a Derivate Parziali
CdL Magistrale in Matematica
Prof. R. Magnanini e P. Salani
Primavera 2014
Richiami sulle funzioni armoniche
Identità integrali: teorema della divergenza, formule di Gauss-Green, identità di Pohozaev.
Medie sferiche e loro applicazioni: proprietà della media.
Funzioni sub-armoniche e armoniche.
Principio di massimo forte, debole e disuguaglianza di Harnack.
Teoremi di convergenza di Harnack.
Metodo di Perron.
Prerequisiti di geometria differenziale: la funzione distanza.
Il principio di massimo per equazioni ellittiche e paraboliche
Operatori ellittici.
Il principio di massimo debole per operatori ellittici.
Il lemma di Hopf ed il principio di massimo forte.
Il principio di massimo per domini sottili.
Il principio di massimo per operatori parabolici.
Applicazioni del principio di massimo.
Potenziale di capacità in un anello stellato.
Curvatura delle curve equipotenziali di un potenziale di capacità .
Il principio di massimo per la funzione concavità e sue applicazioni.
Metodo dei piani mobili e superfici parallele alla frontiera: simmetria.
Metodo dei piani mobili e problema di Serrin: simmetria. Metodo di Weinberger.
Metodo dei piani mobili: simmetria delle soluzioni positive di un’equazione semilineare.
La proprietà della media per funzioni armoniche caratterizza le sfere.
Metodo dell'anello sferico (Greco).
Funzione P di Payne e sue applicazioni.
Concavità di soluzioni di equazioni ellittiche
Funzioni quasi-concave e p-concave.
Panoramica sui vari metodi.
Introduzione alle soluzioni di viscosità .
Inviluppo concavo, p-concavo e quasi-concavo.
Quasi-convessità di soluzioni in anelli.
Il metodo dell'inviluppo convesso.
Inviluppo convesso e combinazione alla Minkowski.
Disuguaglianze di tipo Brunn-Minkowski per soluzioni di equazioni ellittiche.
Riordinamenti per spessore medio.
Punti critici delle soluzioni di equazioni ellittiche e paraboliche.
Funzioni armoniche nel piano e funzioni olomorfe.
Il principio dell’argomento ed il teorema della mappa di Riemann.
Un problema sovra-determinato per la funzione di Green nel piano.
Punti critici di un potenziale di capacità nel piano.
Punti critici di una funzione armonica nel piano.
Punti critici delle soluzioni di equazioni ellittiche nel piano.
Punti critici delle soluzioni di equazioni (ellittiche) semilineari nel piano.
Esempi di funzioni armoniche e dei loro punti critici nello spazio.
Equazione del calore: proprietà della media nei punti invarianti.
Comportamento asintotico delle soluzioni dell’equazione del calore per tempi grandi e piccoli.
Superfici isotermiche invarianti.