Programma di

Istituzioni di Analisi Superiore

Misura di aperti e compatti nello spazio euclideo e sue proprietà.
Insiemi misurabili secondo Lebesgue e loro misura.
Proprietà fondamentali degli insiemi misurabili (unione numerabile, intersezione e differenza).
Additività numerabile della misura di Lebesgue.
Successioni di insiemi misurabili.
Esempi: insieme misurabile secondo Lebesgue ma non misurabile secondo Peano-Jordan; insieme di Cantor; insieme aperto di misura piccola e con frontiera di misura infinita; insieme non misurabile secondo Lebesgue.
Funzioni misurabili e loro proprietà.
Funzioni semicontinue.
Funzioni semplici.
Approssimazione di funzioni misurabili con funzioni semplici.
Integrale di Lebesgue di una funzione misurabile non negativa e sue proprietà elementari. Principio di Cavalieri.
Teorema di Beppo Levi sulla convergenza monotona.
Lemma di Fatou.
Additività numerabile dell'integrale di funzioni non negative.
Integrale di Lebesgue di funzioni sommabili e sue proprietà.
Assoluta continuità dell'integrale di Lebesgue.
Teorema di Lebesgue della convergenza dominata.
Confronto tra integrale di Riemann ed integrale di Lebesgue.
Il teorema di Fubini.
Teoria della misura astratta: analogie e differenze con la misura di Lebesgue; altri esempi di misure.

Funzioni convesse e concave e loro proprietà rispetto a limite ed estremi .
Proprietà del rapporto incrementale di una funzione convessa.
Derivate di funzioni convesse.
Retta di supporto.
Disuguaglianza di Jensen. Media aritmetica e media geometrica. Disuguaglianza di Young.

_{Spazi L}^p

Disuguaglianza di Holder.
Disuguaglianza di Minkowski.
Estremo superiore essenziale e spazio L^*.
L^p è uno spazio lineare normato.
L^p è completo.
Disuguaglianza di Hanner. Disuguaglianza di Clarkson e uniforme convessità.
Differenziabilità della norma.
Proiezione su insiemi chiusi e convessi.
Funzionali lineari e continui su L^p e convergenza debole.
I funzionali lineari separano.
Semicontinuità inferiore della norma.
Principio di limitatezza uniforme.
Combinazioni convesse di successioni debolmente convergenti.
Il duale di L^p: teorema di rappresentazione di M. Riesz.
Convoluzioni. Disuguaglianza di Young con q=1 e p=r.
Approssimazione mediante funzioni C^* a supporto compatto. Supporto di una funzione misurabile.
Separabilità di L^p.
Le successioni limitate sono debolmente compatte.
Convoluzioni di funzioni in spazi duali sono continue.
Le peculiarità degli spazi L¹ e L^*.
Il teorema di Ascoli-Arzelà.
Criterio di compattezza in L^p: il teorema di Frechét-Riesz-Kolmogorov.