Programma di

Analisi Matematica III

Corso di Laurea in Matematica

Autunno 2015

 Informazioni e modalità di esame

Calendario compitini a.a. 2015/16

Risultati compitini a.a. 2014/15

Teoria della misura e dell'integrale di Lebesgue

 

• Misura di aperti e compatti nello spazio euclideo e sue proprietà.

• Insiemi misurabili secondo Lebesgue e loro misura.

• Proprietà fondamentali degli insiemi misurabili (unione numerabile, intersezione e differenza).

• Additività numerabile della misura di Lebesgue.

• Successioni di insiemi misurabili.

• Esempi: insieme misurabile secondo Lebesgue ma non misurabile secondo Peano-Jordan; insieme di Cantor e funzione di Cantor; insieme aperto di misura piccola e con frontiera di misura infinita; insieme di Vitali (cioè non misurabile secondo Lebesgue).

• Funzioni misurabili e loro proprietà.

• Funzioni semicontinue.

• Funzioni semplici.

• Approssimazione di funzioni misurabili con funzioni semplici.

• Integrale di Lebesgue di una funzione misurabile non negativa e sue proprietà elementari. Principio di Cavalieri e funzione di distribuzione.

• Teorema di Beppo Levi sulla convergenza monotona.

• Lemma di  Fatou.

• Additività numerabile dell'integrale di funzioni non negative.

• Integrale di Lebesgue di funzioni sommabili e sue proprietà.

• Assoluta continuità dell'integrale di Lebesgue.

• Teorema di Lebesgue della convergenza dominata.

• Confronto tra integrale di Riemann ed integrale di Lebesgue.

• I teoremi di  Fubini  e Tonelli.

• Teoria della misura astratta: analogie e differenze con la misura di Lebesgue; altri esempi di misure. La misura di  Hausdorff.
   

  Alcuni risultati sulle funzioni convesse

• Funzioni convesse e concave e loro proprietà rispetto a limite ed ordine.

• Monotonia del rapporto incrementale di una funzione convessa.

• Derivate di funzioni convesse.

• Retta di supporto.

• Disuguaglianza di Jensen. Media aritmetica e media geometrica. Disuguaglianza di Young.
   

  ^{Spazi Lp}
   

• Disuguaglianza di Holder.

• Disuguaglianza di Minkowski.

• Estremo superiore essenziale e spazio L-infinito.

• L^p è uno spazio lineare normato.

• L^p è completo.

• Definizioni di spazio di Banach e di Hilbert.

• Disuguaglianza di Hanner. Disuguaglianza di Clarkson e uniforme convessità.

• Differenziabilità della norma.

• Proiezione su insiemi chiusi e convessi.

• Funzionali lineari e continui su L^p e convergenza debole.

• I funzionali lineari separano.

• Semicontinuità inferiore della norma.

• Il duale di L^p: teorema di rappresentazione di   Riesz.

• Convoluzioni. Disuguaglianza di Young con q=1 e p=r.

• Approssimazione mediante funzioni semplici e funzioni C-infinito a supporto compatto.

• Supporto di una funzione misurabile.

• Separabilità di L^p.

• Le successioni limitate sono debolmente compatte.

• Convoluzioni di funzioni in spazi duali sono continue.

• Peculiarità degli spazi L¹ e L-infinito.

• Il teorema di Ascoli-Arzelà.

• Enunciato del teorema di Riesz-Frechet-Kolmogorov.
   

  _{Confronti tra convergenze}
   

• Teorema di Egorov-Severini. Convergenza quasi ovunque e convergenza quasi uniforme.

• Teorema di Lusin. Funzioni misurabili e funzioni quasi continue.

• Convergenza in misura.

• Confronti tra convergenza in misura, quasi ovunque, forte in Lp e debole in Lp su insiemi di misura finita.

  _{Elementi sulla teoria delle funzioni olomorfe}

• _{Funzioni olomorfe di una variabile complessa. Conformalità.}

• _{Equazioni di Cauchy-Riemann.}

• _{Funzioni esponenziale, seno, coseno, logaritmo e potenza.}

• _{Teorema di Cauchy-Goursat. Teorema di Morera.}

• _{Formula integrale di Cauchy.}

• _{Funzioni analitiche e funzioni olomorfe.}

• _{Zeri di funzioni olomorfe.}

• _{Funzioni meromorfe. Singolarità e poli.}

• _{Serie di Laurent. Residui.}

• _{Teorema dei residui e principio dell'argomento.}

• _{Calcolo di integrali impropri con il teorema dei residui.}

• _{Teoremi del massimo e minimo modulo.}

• _{Teorema dell'applicazione aperta.}

• _{Lemma di Schwarz.}

  Testi di consultazione

• Fusco-Marcellini-Sbordone, Analisi Matematica II, Liguori editore, Napoli.

• Lieb-Loss, Analysis, Graduate Studies in Mathematics, AMS, Providence, RI, USA.

• Rudin, Analisi Reale e Complessa, Boringhieri, Torino.

• Brezis, Analisi Funzionale, Liguori Editore, Napoli.

• Giusti, Analisi Matematica 2, Boringhieri, Torino.

• DiBenedetto, Real Analysis, Birkhauser, Boston, MA, USA.

• Patrizio, Dispense, http://web.math.unifi.it/~patrizio/DidaII/

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  Materiale didattico scaricabile

• Dispense del corso. Versione con hyperlink (necessario Acrobat Reader) aggiornata al 25 marzo 2016)

• Dispensa sulla misura di Hausdorff a cura del dott. G. de Philippis