Programma di
Istituzioni di Analisi Superiore. Primo
modulo.
Corso di Laurea in Matematica
Autunno 2008
Informazioni
e modalità di esame
Teoria della
misura e dell'integrale di Lebesgue
- Misura di aperti
e compatti nello spazio euclideo e sue proprietà.
- Insiemi misurabili secondo
Lebesgue e loro misura.
- Proprietà fondamentali
degli insiemi misurabili (unione numerabile, intersezione e differenza).
- Additività numerabile
della misura di Lebesgue.
- Successioni di insiemi
misurabili.
- Esempi: insieme misurabile
secondo Lebesgue ma non misurabile secondo Peano-Jordan;
insieme di Cantor
e funzione di
Cantor; insieme aperto di misura piccola e con frontiera di misura infinita;
insieme di Vitali
(cioè non misurabile secondo Lebesgue).
- Funzioni misurabili
e loro proprietà.
- Funzioni semicontinue.
- Funzioni semplici.
- Approssimazione di funzioni
misurabili con funzioni semplici.
- Integrale di Lebesgue
di una funzione misurabile non negativa e sue proprietà elementari.
Principio di Cavalieri
e funzione di distribuzione.
- Teorema di Beppo Levi
sulla convergenza monotona.
- Lemma di Fatou.
- Additività numerabile
dell'integrale di funzioni non negative.
- Integrale di Lebesgue
di funzioni sommabili e sue proprietà.
- Assoluta continuità
dell'integrale di Lebesgue.
- Teorema di Lebesgue
della convergenza dominata.
- Confronto tra integrale
di Riemann
ed integrale di Lebesgue.
- I teoremi di Fubini
e Tonelli.
- Teoria della misura
astratta: analogie e differenze con la misura di Lebesgue; altri esempi di
misure. La misura di Hausdorff.
Alcuni risultati
sulle funzioni convesse
- Funzioni convesse e
concave e loro proprietà rispetto a limite ed ordine.
- Monotonia del rapporto
incrementale di una funzione convessa.
- Derivate di funzioni
convesse.
- Retta di supporto.
- Disuguaglianza di Jensen.
Media aritmetica e media geometrica. Disuguaglianza di Young.
Spazi Lp
- Disuguaglianza di Holder.
- Disuguaglianza di Minkowski.
- Estremo superiore essenziale
e spazio L-infinito.
- Lp è
uno spazio lineare normato.
- Lp è
completo.
- Disuguaglianza di Hanner.
Disuguaglianza di Clarkson e uniforme convessità.
- Differenziabilità
della norma.
- Proiezione su insiemi
chiusi e convessi.
- Funzionali lineari e
continui su Lp e convergenza debole.
- I funzionali lineari
separano.
- Semicontinuità
inferiore della norma.
- Il duale di Lp:
teorema di rappresentazione di Riesz.
- Convoluzioni. Disuguaglianza
di Young con q=1 e p=r.
- Approssimazione mediante
funzioni semplici e funzioni C-infinito a supporto compatto.
- Supporto di una funzione
misurabile.
- Separabilità
di Lp.
- Le successioni limitate
sono debolmente compatte.
- Convoluzioni di funzioni
in spazi duali sono continue.
- Peculiarità degli
spazi L1 e L-infinito.
- Il teorema di Ascoli-Arzelà.
- Enunciato del teorema
di Riesz-Frechet-Kolmogorov.
Confronti
tra convergenze
- Teorema di Egorov-Severini.
Convergenza quasi ovunque e convergenza quasi uniforme.
- Teorema di Lusin. Funzioni
misurabili e funzioni quasi continue.
- Convergenza in misura.
- Confronti tra convergenza
in misura, quasi ovunque, forte in Lp e debole in Lp su insiemi di misura
finita.
Spazi
di Hilbert
- Definizione di prodotto interno. Disuguaglianze
di Schwarz
e triangolare.
- Identita' del parallelogramma. Ortogonalita'.
- Definizione di spazio di Hilbert.
- Proiezione su un sottoinsieme convesso e chiuso
e sue proprieta'.
- Il duale di uno spazio di Hilbert: teorema di
Riesz.
- La norma e' semicontinua inferiormente.
- Gli insiemi limitati sono debolmente compatti.
- Complemento ortogonale di un sottospazio.
- Sistemi ortonormali.
- Minimi quadrati. Disuguaglianza di Bessel.
Coefficienti di Fourier.
- Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.
- Ogni spazio di Hilbert separabile ammette una
base ortonormale.
- Identita' di Parseval.
Testi di
consultazione
- Fusco-Marcellini-Sbordone,
Analisi Matematica II, Liguori editore, Napoli.
- Lieb-Loss, Analysis, Graduate Studies in Mathematics,
AMS, Providence, RI, USA.
- Rudin, Analisi Reale e Complessa, Boringhieri,
Torino.
- Brezis, Analisi Funzionale, Liguori Editore,
Napoli.
- Giusti, Analisi Matematica 2, Boringhieri, Torino.
- DiBenedetto, Real Analysis, Birkhauser, Boston,
MA, USA.
Materiale
didattico scaricabile
- Vecchi compiti e test
(IAS in maiuscolo i compiti, ias in minuscolo i test) in formato.pdf
- Dispensa sulla misura di Hausdorff a cura del dott. G. de Philippis