Programma di

Istituzioni di Analisi Superiore. Secondo modulo.

Corso di Laurea in Matematica

Anno Accademico 2002-2003. Primavera 2003.

Anno Accademico 2000-01

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_{Serie e trasformata di Fourier.}

Polinomi trigonometrici.
Serie e coefficienti di Fourier.
Disuguaglianza di Bessel.
Lemma di Riemann-Lebesgue.
Nucleo di Dirichlet.
Criteri del Dini e di Jordan.
Convergenza uniforme della serie di Fourier.
Completezza del sistema trigonometrico nello spazio delle funzioni di quadrato sommabile.
Identita' di Parseval.
Altri tipi di convergenza. Nuclei di Fejer e di Poisson .
Approssimazione uniforme mediante polinomi: teorema di Weierstrass.
Trasformata di Fourier di una funzione sommabile.
Comportamento della trsformazione di Fourier rispetto a dilatazioni, traslazioni, rotazioni e convoluzioni.
Lo spazio di Schwartz. Derivazione e trasformata.
Trasformata di una Gaussiana.
Teorema di Plancherel ed identita' di Parseval. Definizione di trasformata di Fourier in nello spazio delle funzioni di quadrato sommabile.
Formula di inversione.
Nuclei di sommabilita': Dirichlet, Fejer, Gauss-Weiestrass, Abel-Poisson.
Trasformata del nucleo di Poisson.
La formula di addizione di Poisson.
Soluzione di alcuni problemi al contorno per le equazioni a derivate parziali mediante la trasformata di Fourier. Soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace e dell'equazione del calore.

_{Cenni sulle distribuzioni.}

Lo spazio delle funzioni test e sua topologia.
Lo spazio delle distribuzioni e sua topologia.
Distribuzioni di ordine finito.
La distribuzione delta di Dirac. Misure di Borel come distribuzioni.
Funzioni localmente p-integrabili. Le funzioni sono determinate in modo unico come distribuzioni.
Derivata distribuzionale.
Definizione degli spazi di Sobolev. Convergenza debole in uno spazio di Sobolev.
Estensione alle distribuzioni delle operazioni di traslazione, moltiplicazione, riflessione, convoluzione.
Regolarita' della convoluzione con funzioni test.
Distribuzioni a supporto compatto.
Teorema fondamentale del calcolo per le distribuzioni.
Le distribuzioni con derivata nulla sono costanti.
Distribuzioni temperate e loro trasformata di Fourier.

_{Funzioni armoniche.}

Equazione di Laplace e funzioni armoniche.
Equazione di Poisson nello spazio euclideo e sua risoluzione con la trasformata di Fourier.
Soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace.
Proprietà della media per le funzioni armoniche.
Funzioni subarmoniche e superarmoniche.
Principio di massimo. Unicità del problema di Dirichlet.
Principio di Hopf. Unicità per il problema di Neumann.
Le funzioni armoniche sono infinitamente differenziabili.
Teorema di Liouville.
Analticità delle funzioni armoniche.
Disuguaglianza di Harnack ed applicazioni.
Identità di Stokes e definizione della funzione di Green. Funzione di Neumann.
Formula di rappresentazione per la soluzione del problema di Dirichlet.
Simmetria della funzione di Green.
Costruzione della funzione di Green e del nucleo di Poisson per il semispazio e per la sfera.
Alcuni teoremi di convergenza e di compattezza per funzioni armoniche.
Il problema di Neumann per il semispazio.
Funzioni armoniche nel piano e collegamenti con le funzioni olomorfe (enunciati).
Unicita' per il problema di Robin in insiemi limitati ed illimitati.
Inversione per raggi vettori reciproci.
Ulteriori proprietà delle funzioni subarmoniche.
Metodo di Perron per l'esistenza di soluzioni del problema di Dirichlet in domini limitati.
Cenni sulle funzioni barriera. Punti regolari ed eccezionali.
Principio di Dirichlet e teorema della proiezione.
Applicazione del teorema di Lax-Milgram alle equazioni ellittiche.
Conversione di un problema di Dirichlet in un'equazione integrale.
Proprieta' geometriche delle superfici di livello di un potenziale di capacita'.
Metodo dei piani mobili e sua applicazione ad un'equazione di Poisson semilineare.

Testi di consultazione

Lieb-Loss, Analysis, Graduate Studies in Mathematics, AMS, Providence, RI, USA.
Rudin, Analisi Reale e Complessa, Boringhieri, Torino.
Brezis, Analisi Funzionale, Liguori Editore, Napoli.
Evans, Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, AMS, Providence, RI, USA.
Garabedian, Partial Differential Equations, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, USA.
Duoandikoetxea, Fourier Analysis, Graduate Studies in Mathematics, AMS, Providence, RI, USA.