Programma di

Istituzioni di Analisi Superiore

Corso di Laurea Magistrale in Matematica

Autunno 2011

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_{Analisi funzionale in spazi di Hilbert}

Definizione di prodotto scalare. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Identità del parallelogramma.

Definizione di spazio di Hilbert ed esempi.

Proiezione su un convesso.

Sistemi ortonormali. Serie e coefficienti di Fourier. Disuguaglianza di Bessel.

Completezza di un sistemi ortonormale. Identità di Parseval.

Funzionali lineari e limitati. Duale di uno spazio di Hilbert. Teorema di rappresentazione di Riesz.

Convergenza debole.

Teorema di Banach-Alaoglu.

I teoremi di Stampacchia e di Lax Lax-Milgram.

Teorema dell'applicazione aperta e sue conseguenze.

Teorema di Banach-Steinhaus.

Operatori lineari e continui.

Operatori compatti: esempi e prime proprietà.

Teorema dell'alternativa di Fredholm.

Spettro di un operatore compatto.

Decomposizione spettrale di un operatore simmetrico e compatto.

_{Serie di Fourier}

Polinomi trigonometrici.

Serie e coefficienti di Fourier.

Disuguaglianza di Bessel.

Lemma di Riemann-Lebesgue.

Nucleo di Dirichlet.

Criteri del Dini e di Jordan.

Convergenza uniforme della serie di Fourier.

Completezza del sistema trigonometrico nello spazio delle funzioni di quadrato sommabile.

Identita' di Parseval.

Altri tipi di convergenza. Nuclei di Fejer e di Poisson .

Approssimazione uniforme mediante polinomi: teorema di Weierstrass.

_{Trasformata di Fourier}

Trasformata di Fourier di una funzione sommabile.

Comportamento della trsformazione di Fourier rispetto a dilatazioni, traslazioni, rotazioni e convoluzioni.

Lo spazio di Schwartz. Derivazione e trasformata.

Trasformata di una Gaussiana.

Teorema di Plancherel ed identita' di Parseval. Definizione di trasformata di Fourier in nello spazio delle funzioni di quadrato sommabile.

Formula di inversione.

Nuclei di sommabilita': Dirichlet, Fejer, Gauss-Weiestrass, Abel-Poisson.

Trasformata del nucleo di Poisson.

La formula di addizione di Poisson.

Soluzione di alcuni problemi al contorno per le equazioni a derivate parziali per separazione delle variabili e mediante la trasformata di Fourier. Soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace e dell'equazione del calore.

_{Distribuzioni}

Spazio delle funzioni test e sua topologia.

Definizione di distribuzione e del suo ordine.

Spazio delle distribuzioni e sua topologia.

Derivata distribuzionale. Spazi di Sobolev.

Operazioni sulle distribuzioni.

Regolarità della convoluzione.

Caratterizzazione dello spazio delle distribuzioni a supporto compatto. Spazio metrico delle funzioni infinitamente differenziabili.

Teorema fondamentale per le distribuzioni. Le distribuzioni con derivata nulla sono costanti.

Distribuzioni temperate e trasformata di Fourier..

_{Funzioni armoniche}

Proprietà della media per le funzioni armoniche.

Le funzioni armoniche sono infinitamente differenziabili.

Principio di massimo.

Principio di Hopf.

Disuguaglianza di Harnack.

Teorema di Liouville.

Teoremi di convergenza di Harnack.

Maggiorazioni delle derivate.

_{Problemi al contorno per le equazioni di Poisson e Laplace}

Equazione di Poisson nello spazio euclideo e sua risoluzione.

Soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace.

Teoremi di unicità per i problemi di Dirichlet, Neumann e Robin.

Problemi al contorno in domini illimitati. Inversione per raggi vettori reciproci e trasformazione di Kelvin.

Identità di Stokes e definizione della funzione di Green.

Formula di rappresentazione per la soluzione del problema di Dirichlet.

Simmetria della funzione di Green.

Costruzione della funzione di Green e del nucleo di Poisson per il semispazio e per la sfera.

Analticità delle funzioni armoniche.

Funzioni subarmoniche e superarmoniche.

Metodo di Perron per l'esistenza di soluzioni del problema di Dirichlet in domini limitati.

Cenni sulle funzioni barriera. Punti regolari ed eccezionali.

Esistenza della funzione di Green.

Principio di Dirichlet e teorema di Lax-Milgram.

Conversione di un problema di Dirichlet in un'equazione integrale e applicazione del teorema dell'alternativa di Fredholm..

Autovalori ed autofunzioni dell'operatore di Laplace.

Testi di consultazione

Lieb-Loss, Analysis, Graduate Studies in Mathematics, AMS, Providence, RI, USA.

Rudin, Analisi Reale e Complessa, Boringhieri, Torino.

Brezis, Analisi Funzionale, Liguori Editore, Napoli.

Evans, Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, AMS, Providence, RI, USA.

Garabedian, Partial Differential Equations, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, USA.

Duoandikoetxea, Fourier Analysis, Graduate Studies in Mathematics, AMS, Providence, RI, USA.

Materiale didattico scaricabile

Dispense del corso (Versione del 14 settembre 2013)