Programma di

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Istituzioni di Analisi Superiore (Secondo modulo)

Corso di Laurea in Matematica

Primavera 2007

L’equazione di Laplace.

Identità integrali: teorema della divergenza, formule di Gauss-Green, identità di Pohozaev.

Medie sferiche e loro applicazioni: proprietà della media.

Il principio di massimo.

La disuguaglianza di Harnack.

L’identità di Stokes.

La funzione di Green.

L’integrale di Poisson.

Analiticità delle funzioni armoniche.

I teoremi di convergenza di Harnack.

Esistenza per il problema di Dirichlet con il metodo di Perron. Esistenza della funzione di Green.

Risoluzione per separazione delle variabili.

Funzioni armoniche nel piano e funzioni olomorfe. Richiami: il principio dell’argomento ed il teorema della mappa di Riemann.

Il principio di massimo per equazioni ellittiche e paraboliche.

Operatori ellittici.

Il principio di massimo debole.

Il lemma di Hopf ed il principio di massimo forte.

Il principio di massimo per domini sottili.

Il principio di massimo per operatori parabolici.

Applicazioni del principio di massimo.

Prerequisiti di geometria differenziale: la funzione distanza.

Teoremi di unicità per problemi al contorno per equazioni ellittiche e paraboliche.

Potenziale di capacità in un anello stellato.

Curvatura delle curve equipotenziali di un potenziale di capacità.

Il principio di massimo per la funzione concavità e sue applicazioni.

Metodo dei piani mobili e superfici parallele alla frontiera.

Metodo dei piani mobili: un problema sovradeterminato in teoria del potenziale.

Metodo dei piani mobili: simmetria delle soluzioni positive di un’equazione semilineare.

La proprietà della media per funzioni armoniche caratterizza le sfere.

Funzione P di Payne e sue applicazioni.

Punti critici delle soluzioni di equazioni ellittiche e paraboliche.

Punti critici di un potenziale di capacità nel piano.

Punti critici di una funzione armonica nel piano.

Punti critici delle soluzioni di equazioni ellittiche nel piano.

Punti critici delle soluzioni di equazioni (ellittiche) semilineari nel piano.

Esempi di funzioni armoniche e dei loro punti critici nello spazio.

Equazione del calore: proprietà della media nei punti invarianti.

Comportamento asintotico delle soluzioni dell’equazione del calore per tempi grandi e piccoli.

Superfici isotermiche invarianti.

Calendario esami