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Complementi di Analisi Reale
Il lemma di ricopertura di Vitali.
Funzioni a variazione limitata di una variabile reale. Prime proprietà.
Decomposizione di Jordan.
Derivabilità quasi ovunque di una funzione a variazione limitata.
Teorema di Fubini di derivazione per serie.
Funzioni assolutamente continue. Prime proprietà.
Monotonia di una funzione assolutamente continua.
Primitiva di una funzione sommabile di una variabile reale.
Teorema fondamentale del calcolo per funzioni assolutamente continue.
Esempi notevoli: funzione di Cantor; funzione di Weierstrass.
Elementi
di analisi funzionale in spazi di Hilbert
Definizione di prodotto scalare. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Identità del parallelogramma.
Definizione di spazio di Hilbert ed esempi.
Proiezione su un convesso.
Sistemi ortonormali. Serie e coefficienti di Fourier. Disuguaglianza di Bessel.
Completezza di un sistemi ortonormale. Identità di Parseval.
Funzionali lineari e limitati. Duale di uno spazio di Hilbert. Teorema di rappresentazione di Riesz.
Convergenza debole.
Teorema di Banach-Alaoglu.
I teoremi di Stampacchia e di Lax-Milgram.
Teorema dell'applicazione aperta e sue conseguenze.
Teorema di Banach-Steinhaus.
Operatori lineari e continui.
Operatori compatti: esempi e prime proprietà.
Teorema dell'alternativa di Fredholm.
Spettro di un operatore compatto.
Decomposizione spettrale di un operatore simmetrico e compatto.
Serie di Fourier
Polinomi trigonometrici.
Serie e coefficienti di Fourier.
Disuguaglianza di Bessel.
Lemma di Riemann-Lebesgue.
Nucleo di Dirichlet.
Criteri del Dini e di Jordan.
Convergenza uniforme della serie di Fourier.
Completezza del sistema trigonometrico nello spazio delle funzioni di quadrato sommabile.
Identita' di Parseval.
Approssimazione uniforme mediante polinomi: teorema di Weierstrass.
Trasformata di Fourier
Trasformata di Fourier di una funzione sommabile.
Comportamento della trsformazione di Fourier rispetto a dilatazioni, traslazioni, rotazioni e convoluzioni.
Lo spazio di Schwartz. Derivazione e trasformata.
Trasformata di una Gaussiana.
Teorema di Plancherel ed identita' di Parseval. Definizione di trasformata di Fourier in nello spazio delle funzioni di quadrato sommabile.
Formula di inversione.
Nuclei di sommabilita': Dirichlet, Fejer, Gauss-Weiestrass, Abel-Poisson.
Trasformata del nucleo di Poisson.
La formula di addizione di Poisson.
Soluzione di alcuni problemi al contorno per le equazioni a derivate parziali per separazione delle variabili e mediante la trasformata di Fourier. Soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace e dell'equazione del calore.
Distribuzioni
Spazio delle funzioni test e sua topologia.
Definizione di distribuzione e del suo ordine.
Spazio delle distribuzioni e sua topologia.
Derivata distribuzionale. Spazi di Sobolev.
Operazioni sulle distribuzioni.
Regolarità della convoluzione.
Caratterizzazione dello spazio delle distribuzioni a supporto compatto. Spazio metrico delle funzioni infinitamente differenziabili.
Teorema fondamentale per le distribuzioni. Le distribuzioni con derivata nulla sono costanti.
Distribuzioni temperate e trasformata di Fourier..
Funzioni
armoniche
Proprietà della media per le funzioni armoniche.
Le funzioni armoniche sono infinitamente differenziabili.
Principio di massimo.
Principio di Hopf.
Disuguaglianza di Harnack.
Teorema di Liouville.
Teoremi di convergenza di Harnack.
Maggiorazioni delle derivate.
Problemi
al contorno per le equazioni di Poisson e Laplace
Equazione di Poisson nello spazio euclideo e sua risoluzione.
Soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace.
Teoremi di unicità per i problemi di Dirichlet, Neumann e Robin.
Problemi al contorno in domini illimitati. Inversione per raggi vettori reciproci e trasformazione di Kelvin.
Identità di Stokes e definizione della funzione di Green.
Formula di rappresentazione per la soluzione del problema di Dirichlet.
Simmetria della funzione di Green.
Costruzione della funzione di Green e del nucleo di Poisson per il semispazio e per la sfera.
Analticità delle funzioni armoniche.
Funzioni subarmoniche e superarmoniche.
Metodo di Perron per l'esistenza di soluzioni del problema di Dirichlet in domini limitati.
Cenni sulle funzioni barriera. Punti regolari ed eccezionali.
Esistenza della funzione di Green.
Principio di Dirichlet e teorema di Lax-Milgram.
Conversione di un problema di Dirichlet in un'equazione integrale e applicazione del teorema dell'alternativa di Fredholm..
Autovalori ed autofunzioni dell'operatore di Laplace.
Lieb-Loss, Analysis, Graduate Studies in Mathematics, AMS, Providence, RI, USA.
Rudin, Analisi Reale e Complessa, Boringhieri, Torino.
Brezis, Analisi Funzionale, Liguori Editore, Napoli.
Evans, Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, AMS, Providence, RI, USA.
Garabedian, Partial Differential Equations, AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, USA.
Duoandikoetxea, Fourier Analysis, Graduate Studies in Mathematics, AMS, Providence, RI, USA.