Università di Firenze
Corso di laurea in Matematica
Analisi
Matematica Uno - A.A. 2002-2003
Orario delle lezioni e delle
esercitazioni del corso di Analisi Matematica Uno:
Ora |
lunedì |
martedì |
mercoledì |
giovedì |
venerdì |
8.30 – 9.30 |
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9.30 – 10.30 |
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10.30 – 11.30 |
Esercitazione |
Lezione |
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Lezione |
11.30 – 12.30 |
Esercitazione |
Lezione |
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Esercitazione |
Le lezioni e le esercitazioni si terranno nell’aula 2
del Dipartimento di Matematica, in Viale Morgagni
67/A.
Inizio delle lezioni: 30 settembre 2002.
Testi consigliati di teoria:
P. Marcellini - C. Sbordone,
Elementi di Analisi Matematica Uno, Liguori Editore.
E. Giusti, Analisi matematica 1, Boringhieri
Editore.
Testi di esercizi:
P. Marcellini - C. Sbordone,
Esercitazioni di Matematica, Liguori Editore,
Primo Volume (parte prima e parte seconda).
Il Corso di Analisi Matematica Uno è articolato in lezioni (tenute dal Prof. Paolo Marcellini) ed esercitazioni (tenute dal Dott. Emanuele Paolini). Il corso è diviso in due moduli. Il ciclo di lezioni del primo modulo terminerà entro Natale, mentre dal 7 all’11 gennaio 2003 si potrà tenere l'ultima settimana di lezioni ed esercitazioni, di riepilogo e di recupero.
L'esame consiste in una prova scritta ed una prova orale al termine di ogni modulo; tali prove si terranno in più sessioni ripetute durante il corso dell'anno, al termine del ciclo di lezioni ed esercitazioni, con inizio a metà del mese di gennaio 2003, relativamente al primo modulo. L'esame scritto alla fine di ogni modulo consente l'ammissione alla prova orale se la votazione riportata è maggiore o uguale a 14/30.
Durante il corso sono previste alcune prove scritte preliminari di verifica dell'apprendimento, due per il primo modulo e due per il secondo. Se la votazione riportata nelle due prove è sufficiente (almeno 18/30) lo studente è esonerato dal sostenere l'esame scritto alla fine del corrispondente modulo, che altrimenti è obbligatorio.
E’ consentito sostenere una unica prova scritta ed una unica prova orale al termine del corso, valida per entrambi i moduli, in alternativa a due esami distinti per i due moduli. Se la votazione riportata su tre prove fra le quattro prove scritte preliminari, complessivamente previste nei due moduli, è sufficiente (almeno 18/30), lo studente è esonerato dal sostenere l'esame scritto alla fine del corso che, unitamente ad una prova orale (anche questa al termine del corso), come già detto vale per entrambi i moduli in alternativa a due esami distinti per i due moduli.
Le norme sopra indicate sono state elaborate tenendo conto delle norme generali del Corso di Laurea in Matematica. Tali norme potranno essere modificate nel corso dell’anno, anche in considerazione dello sviluppo del programma effettivamente svolto e delle eventuali proposte degli studenti che frequenteranno il corso.
Data prevista per la prima prova scritta preliminare: venerdì 8 novembre 2002. Data prevista per la seconda prova scritta preliminare: martedì 17 dicembre 2002.
(Primi) esami alla fine del primo modulo: due appelli, il primo dei quali intorno al 15 gennaio 2003. Si potrà organizzare un preappello orale nella prima metà del mese di gennaio 2003, riservato agli studenti che avranno ottenuto l’esonero dal sostenere la prova scritta.
Il Programma del Corso sarà di massima il seguente (il programma definitivo verrà distribuito alla fine di ogni modulo di lezioni ed esercitazioni). Si fa riferimento ai numeri dei paragrafi del libro: P. Marcellini - C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica Uno, Liguori Editore.
Primo modulo:
I NUMERI E LE
FUNZIONI REALI. Il sistema dei numeri reali. Numeri naturali, interi,
razionali. Esistenza di numeri irrazionali (in particolare: la radice quadrata
di 2 non è un numero razionale). Funzioni reali di variabile reale. Funzioni
invertibili. Funzioni monotóne. Proprietà
e grafici delle funzioni elementari. Valore assoluto. Disuguaglianza
triangolare. L'assioma di completezza. Massimo, minimo, estremo superiore,
estremo inferiore. Esistenza dell'estremo superiore. Il principio di induzione. La disuguaglianza di Bernoulli.
Formula del binomio di Newton. Numeri complessi: forma algebrica e
trigonometrica, rappresentazione geometrica, operazioni, potenze e radici. (Paragrafi
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15)
LIMITI DI
SUCCESSIONI. Definizione di limite (finito o infinito) di una successione.
Prime proprietà: unicità del limite, limitatezza delle successioni convergenti.
Teorema della permanenza del segno, dei carabinieri e altri
teoremi di confronto. Operazioni con i limiti: somma, prodotto,
quoziente. Forme indeterminate. Limite del prodotto di una successione
infinitesima per una limitata. Limiti notevoli. Successioni monotóne.
Teorema sulle successioni monotóne. Monotonia e
limitatezza della successione (1+1/n)^n. Il numero e.
Successioni definite per ricorrenza. Infiniti di ordine
crescente. Criterio del rapporto per le successioni. Successioni estratte. Il
teorema di Bolzano-Weierstrass. (Paragrafi
16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27)
LIMITI DI FUNZIONI. Definizione di limite (finito o infinito) di una funzione reale di
variabile reale, in un punto al finito o all'infinito. Limiti destro e
sinistro. Legame tra limiti di funzioni e limiti di successioni. Proprietà dei
limiti di funzioni. (Paragrafi 29, 30, 31, 32)
FUNZIONI CONTINUE.
Definizione. Esempi e prime proprietà. Punti di discontinuità. Teorema della
permanenza del segno. Teoremi dell'esistenza degli zeri e dei valori intermedi.
Metodo di bisezione. Teorema di Weierstrass. Criterio
di invertibilità. Continuità delle funzioni monotóne e delle funzioni inverse. Uniforme continuità.
Teorema di Cantor. Funzioni lipschitziane.
(Paragrafi 33, 34, 35, 36, 37, 38, 65)
DERIVATE. Rapporto
incrementale. Definizione di derivata. Significato meccanico della derivata.
Continuità delle funzioni derivabili. Derivata della somma, del prodotto, del
quoziente. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Derivate
delle funzioni elementari. Equazione della retta tangente al grafico di una
funzione. Le funzioni trigonometriche inverse. (Paragrafi 39, 40, 41, 42,
43, 44, 45)
APPLICAZIONI DELLE
DERIVATE. STUDIO DI FUNZIONI. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle, di Lagrange, di Cauchy. Funzioni
crescenti e decrescenti; criterio di monotonia. Funzioni con derivata nulla in
un intervallo. Funzioni convesse e concave; criterio di convessità. Flessi. Il
teorema di L'Hopital nel
caso generale (0/0 e infinito su infinito). Asintoti
orizzontali, verticali, obliqui. Studio del grafico di una funzione. (Paragrafi
46, 47, 48, 49, 50, 51, 53)
Secondo modulo:
INTEGRALI DEFINITI.
Il metodo di esaustione.
Partizioni. Somme integrali. Integrabilità secondo Riemann. Definizione e proprietà degli integrali definiti. Integrabilità delle funzioni continue. Il teorema della
media. (Paragrafi 61, 62, 63, 64, 66)
INTEGRALI
INDEFINITI. Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale.
Primitive. Caratterizzazione dell'insieme delle
primitive di una funzione continua in un intervallo. Formula fondamentale del
calcolo integrale. Definizione e proprietà degli integrali indefiniti. Metodi di integrazione indefinita per decomposizione in somma, per
parti, per sostituzione. Divisione tra polinomi. Integrazione delle funzioni
razionali. Formula di integrazione per sostituzione
per gli integrali definiti. Calcolo di aree di figure
piane. Definizione delle funzioni logaritmo, esponenziale, potenza. (Paragrafi
67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 76)
FORMULA DI TAYLOR. La formula di Taylor con il resto di Peano, con il resto integrale e con il resto di Lagrange. La formula di Taylor
delle funzioni elementari. Il simbolo "o piccolo". Uso della
formula di Taylor nel calcolo di
limiti. Tabulazione di funzioni. Rappresentazione numerica approssimata del
numero e. (Paragrafi 52, 77, 78, 79, 80,
81)
SERIE NUMERICHE.
Serie numeriche convergenti, divergenti, indeterminate. Carattere delle serie a
termini non negativi. La serie geometrica. Frazione generatrice. La serie
armonica e la serie armonica generalizzata. Criteri di convergenza per le serie
a termini positivi. Criterio di convergenza per le
serie alternate. Convergenza assoluta. Serie di Taylor.
(Paragrafi 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89)