Università di Firenze
Corso di laurea in Matematica
Analisi Matematica – Primo modulo- A.A. 2002-2003
Programma del primo modulo del corso di Analisi Matematica Uno
(Prof.
Paolo Marcellini)
Primo modulo:
I NUMERI E LE
FUNZIONI REALI. Il sistema dei numeri reali. Numeri naturali, interi,
razionali. Esistenza di numeri irrazionali (in particolare: la radice quadrata
di 2 non è un numero razionale). Funzioni reali di variabile reale. Funzioni
invertibili. Funzioni monotóne. Proprietà
e grafici delle funzioni elementari. Valore assoluto. Disuguaglianza triangolare.
L'assioma di completezza. Massimo, minimo, estremo superiore, estremo
inferiore. Esistenza dell'estremo superiore. Il principio di induzione.
La disuguaglianza di Bernoulli. (Paragrafi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12)
LIMITI DI SUCCESSIONI.
Definizione di limite (finito o infinito) di una successione.
Prime proprietà: unicità del limite, limitatezza delle successioni convergenti.
Teorema della permanenza del segno, dei carabinieri e altri
teoremi di confronto. Operazioni con i limiti: somma, prodotto,
quoziente. Forme indeterminate. Limite del prodotto di una
successione infinitesima per una limitata. Limiti notevoli. Successioni monotóne. Teorema sulle successioni monotóne.
Monotonia e limitatezza della successione (1+1/n)^n.
Il numero e. Successioni definite per
ricorrenza. Infiniti di ordine crescente. Criterio del
rapporto per le successioni. Successioni estratte. Il teorema di Bolzano-Weierstrass. (Paragrafi 16,
17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27)
LIMITI DI FUNZIONI.
Definizione di limite (finito o infinito) di una funzione
reale di variabile reale, in un punto al finito o all'infinito. Limiti
destro e sinistro. Legame tra limiti di funzioni e limiti di
successioni. Proprietà dei limiti di funzioni. (Paragrafi 29, 30, 31,
32)
FUNZIONI CONTINUE.
Definizione. Esempi e prime proprietà. Punti di discontinuità. Teorema della
permanenza del segno. Teoremi dell'esistenza degli zeri e dei
valori intermedi. Metodo di bisezione. Teorema di Weierstrass.
(Paragrafi 33, 34, 35, 36, 37)
DERIVATE. Rapporto
incrementale. Definizione di derivata. Significato meccanico della derivata.
Continuità delle funzioni derivabili. Derivata della somma, del prodotto, del
quoziente. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Derivate
delle funzioni elementari. Equazione della retta tangente al grafico di una
funzione. Le funzioni trigonometriche inverse. (Paragrafi
39, 40, 41, 42, 43, 44, 45)
APPLICAZIONI DELLE
DERIVATE. STUDIO DI FUNZIONI. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat. Teoremi di Rolle,
di Lagrange, di Cauchy.
Funzioni crescenti e decrescenti; criterio di monotonia. Funzioni
convesse e concave; criterio di convessità. Flessi. Il teorema di L'Hopital nel caso generale
(0/0, con dimostrazione, e infinito su infinito, senza
dimostrazione). Grafico di una funzione. (Paragrafi 46, 47, 48, 49, 50, 51,
53)
Si fa
riferimento ai numeri dei paragrafi del libro:
P. Marcellini - C. Sbordone,
Elementi di Analisi Matematica Uno, Liguori Editore.
Firenze, 10
dicembre 2002