Università di Firenze
Corso di laurea in Matematica
Analisi Matematica – Secondo modulo- A.A. 2002-2003
Programma del secondo modulo del corso di Analisi Matematica Uno
(Prof.
Paolo Marcellini)
Secondo modulo:
INTEGRALI DEFINITI.
Il metodo di esaustione.
Partizioni. Somme integrali. Integrabilità secondo Riemann. Definizione e proprietà degli integrali definiti.
Criterio di Integrabilità. Continuità
uniforme. Teorema di Cantor. Funzioni Lipschtziane. Integrabilità delle
funzioni continue. Il teorema della media. (Paragrafi 61, 62, 63, 64, 65, 66)
INTEGRALI
INDEFINITI. Funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale.
Primitive. Caratterizzazione dell'insieme delle
primitive di una funzione continua in un intervallo. Formula fondamentale del
calcolo integrale. Definizione e proprietà degli integrali indefiniti. Metodi di integrazione indefinita per decomposizione in somma, per
parti, per sostituzione. Divisione tra polinomi. Integrazione delle funzioni
razionali. Formula di integrazione per sostituzione
per gli integrali definiti. Calcolo di aree di figure
piane. Definizione delle funzioni logaritmo, esponenziale, potenza, mediante l’uso
degli integrali. (Paragrafi 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 76)
FORMULA DI TAYLOR. La formula di Taylor con il resto di Peano, con il resto integrale e con il resto di Lagrange. La formula di Taylor
delle funzioni elementari. Il simbolo "o piccolo". Uso
della formula di Taylor nel calcolo di limiti.
Tabulazione di funzioni. Rappresentazione numerica approssimata del numero e. (Paragrafi 52, 77, 78, 79, 80, 81)
SERIE NUMERICHE.
Serie numeriche convergenti, divergenti, indeterminate. Carattere delle serie a
termini non negativi. La serie geometrica. La serie armonica e la serie
armonica generalizzata. Criteri di convergenza per le serie a termini positivi: criterio del confronto, degli infinitesimi, del
rapporto, della radice. Criterio di convergenza per le serie alternate.
Convergenza assoluta. Serie di Taylor. Criterio di sviluppabilità per le serie di Taylor.
(Paragrafi 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89)
Si fa riferimento
ai numeri dei paragrafi del libro:
P. Marcellini - C. Sbordone,
Elementi di Analisi Matematica Uno, Liguori Editore.
Firenze, 12 maggio
2003